TEOREMA NG CHEBYSHOV: KUNG ANO ITO, MGA APLIKASYON AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang teorem Chebyshev (Chebyshev o hindi pagkakapareho) ay isa sa pinakamahalagang klasikal na resulta ng teorya ng posibilidad. Pinapayagan nito ang pagtantya ng posibilidad ng isang kaganapan na inilarawan sa mga tuntunin ng isang random variable X, sa pamamagitan ng pagbibigay sa amin ng isang hangganan na hindi nakasalalay sa pamamahagi ng mga random variable ngunit sa pagkakaiba-iba ng X.

Ang teorema ay pinangalanan pagkatapos ng dalubhasa sa matematika na si Pafnuty Chebyshov (isinulat din bilang Chebychev o Tchebycheff) na, sa kabila ng hindi pagiging una na nagsasaad ng teorema, ay ang unang nagbigay ng patunay noong 1867.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, o yaong dahil sa kanilang mga katangian ay tinatawag na hindi pagkakapareho ng Chebyshov, ay pangunahing ginagamit sa tinatayang mga posibilidad sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga taas.

Ano ang binubuo nito?

Sa pag-aaral ng teorya ng posibilidad, nangyayari na kung ang pag-andar ng pamamahagi ng isang random variable X ay kilala, ang inaasahang halaga -sa matematika na pag-asa E (X) - at ang pagkakaiba-iba nito (Var) ay maaaring makalkula, hangga't umiiral ang mga naturang halaga. Gayunpaman, ang pakikipag-usap ay hindi kinakailangan totoo.

Iyon ay, ang pag-alam sa E (X) at Var (X) hindi kinakailangan na makuha ang pagpapaandar ng pamamahagi ng X, samakatuwid ang dami tulad ng P (-X-> k) para sa ilang k> 0 ay napakahirap makuha. Ngunit salamat sa hindi pagkakapareho ng Chebyshov posible upang matantya ang posibilidad ng random variable.

Sinasabi sa amin ng teorema ni Chebyshov na kung mayroon kaming isang random variable X sa isang sample na puwang S na may isang posibilidad ng posibilidad na p, at kung k> 0, kung gayon:

Mga aplikasyon at halimbawa

Kabilang sa maraming mga aplikasyon ng teorema ng Chebyshov, ang mga sumusunod ay maaaring mabanggit:

Limitahan ang mga probabilidad

Ito ang pinaka-karaniwang application at ginagamit upang magbigay ng isang itaas na hangganan para sa P (-XE (X) -≥k) kung saan k> 0, lamang ang pagkakaiba-iba at ang pag-asa ng random variable X, nang hindi alam ang posibilidad ng posibilidad .

Halimbawa 1

Ipagpalagay na ang bilang ng mga produktong gawa sa isang kumpanya sa isang linggo ay isang random variable na may average na 50.

Kung ang pagkakaiba-iba ng isang linggo ng paggawa ay kilala na katumbas ng 25, kung gayon ano ang masasabi natin tungkol sa posibilidad na sa linggong ito ang produksiyon ay magkakaiba sa higit sa 10 mula sa kahulugan?

Solusyon

Ang paglalapat ng hindi pagkakapareho ni Chebyshov mayroon kami:

Mula dito maaari nating makuha na ang posibilidad na sa linggo ng produksiyon ang bilang ng mga artikulo ay lumampas sa average ng higit sa 10 ay higit sa 1/4.

Katunayan ng Mga Limitadong Theorems

Ang pagiging hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshov ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pagpapatunay ng pinakamahalagang mga teorema sa limitasyon. Bilang halimbawa mayroon tayong mga sumusunod:

Mahina batas ng maraming mga numero

Ang batas na ito ay nagsasabi na binigyan ng isang pagkakasunud-sunod X1, X2, …, Xn, … ng mga independiyenteng random variable na may parehong average na pamamahagi E (Xi) = at pagkakaiba-iba ng Var (X) = σ ² , at isang kilalang mean sample ng:

Pagkatapos para sa k> 0 mayroon kami:

O, pantay:

Demonstrasyon

Pansinin muna natin ang mga sumusunod:

Dahil ang X1, X2, …, Xn ay independiyente, sumusunod ito sa:

Samakatuwid, posible na sabihin ang sumusunod:

Pagkatapos, gamit ang teorema ni Chebyshov, mayroon kaming:

Sa wakas, ang teorema ay nagreresulta mula sa katotohanan na ang limitasyon sa kanan ay zero habang ang papalapit sa kawalang-hanggan.

Dapat pansinin na ang pagsubok na ito ay ginawa lamang para sa kaso kung saan umiiral ang pagkakaiba-iba ng Xi; iyon ay, hindi ito lumilihis. Sa gayon napagmasdan natin na ang teorema ay laging totoo kung umiiral ang E (Xi).

Nilimitahan ng Chebyshov ang teorema

Kung ang X1, X2, …, Xn, … ay isang pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng random variable na mayroong ilang C <infinity, tulad ng Var (Xn) ≤ C para sa lahat ng natural n, kung gayon para sa anumang k> 0:

Demonstrasyon

Dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba-iba ay pantay na nakatali, mayroon kaming Var (Sn) ≤ C / n, para sa lahat ng natural n. Ngunit alam natin na:

Ang paggawa ng n ay patungo sa kawalang-hanggan, ang mga sumusunod na resulta:

Dahil ang isang posibilidad ay hindi maaaring lumampas sa halaga ng 1, ang nais na resulta ay nakuha. Bilang kinahinatnan ng teorema na ito, maaari nating banggitin ang partikular na kaso ni Bernoulli.

Kung ang isang eksperimento ay paulit-ulit na n beses nang nakapag-iisa na may dalawang posibleng kinalabasan (pagkabigo at tagumpay), kung saan ang p ay ang posibilidad ng tagumpay sa bawat eksperimento at ang X ay ang random variable na kumakatawan sa bilang ng mga tagumpay na nakuha, pagkatapos para sa bawat k> 0 kailangan mo:

Laki ng halimbawang

Sa mga tuntunin ng pagkakaiba-iba, ang pagkakapantay-pantay ng Chebyshov ay nagbibigay-daan sa amin upang makahanap ng isang laki ng sample n na sapat upang masiguro na ang posibilidad na -Sn-μ -> = k ay nangyayari ay kasing liit ng ninanais, na nagbibigay-daan sa isang pagtatantya sa average.

Partikular, hayaan ang X1, X2, … Xn maging isang halimbawa ng independiyenteng random variable ng laki n at ipagpalagay na E (Xi) = at ang pagkakaiba-iba nito σ ² . Pagkatapos, sa hindi pagkakapareho ni Chebyshov mayroon kaming:

Halimbawa

Ipagpalagay na ang X1, X2, … Xn ay isang halimbawa ng independiyenteng mga random na variable na may pamamahagi ng Bernoulli, tulad na kinuha nila ang halaga 1 na may posibilidad na p = 0.5.

Ano ang dapat na laki ng sample upang ma-garantiya na ang posibilidad na ang pagkakaiba sa pagitan ng arithmetic ay nangangahulugang Sn at ang inaasahang halaga (na lalampas sa higit sa 0.1), ay mas mababa sa o katumbas sa 0.01?

Solusyon

Mayroon kaming E (X) = μ = p = 0.5 at ang Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. Sa hindi pagkakapareho ni Chebyshov, para sa anumang k> 0 mayroon tayo:

Ngayon, ang pagkuha ng k = 0.1 at δ = 0.01, mayroon kaming:

Sa ganitong paraan napagpasyahan na ang isang laki ng sample na hindi bababa sa 2,500 ay kinakailangan upang masiguro na ang posibilidad ng kaganapan -Sn - 0.5 -> = 0.1 ay mas mababa sa 0.01.

Hindi pagkakapantay-pantay ang uri ng Chebyshov

Mayroong maraming mga hindi pagkakapareho na nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshov. Ang isa sa mga kilalang kilala ay ang hindi pagkakapareho ng Markov:

Sa expression na ito X ay isang hindi negatibong random variable na may k, r> 0.

Ang pagkakapantay-pantay ng Markov ay maaaring gumawa ng iba't ibang mga form. Halimbawa, hayaan ang Y ay isang hindi negatibong variable na variable (kaya P (Y> = 0) = 1) at ipagpalagay na ang E (Y) = μ ay umiiral. Ipagpalagay din na (E (Y)) ^r = μ _r para sa ilang integer r> 1. Kaya:

Ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay ay ang Gaussian, na nagsasabi sa amin na binigyan ng isang unimodal random variable X na may mode sa zero, pagkatapos ay para sa k> 0,

Mga Sanggunian

1. Kai Lai Chung. Mga Teoryang Kakayahang Pang-Elemento sa Mga Proseso ng Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosenado. Discrete Matematika at ang mga Aplikasyon nito. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Mga Aplikasyon sa Posible at Statistics. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Malutas ang mga problema ng Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Mga Suliranin sa Teorya at Posible. McGRAW-HILL.