TEOREMA NG EUCLID: PATUNAY, APLIKASYON AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang teorem ng Euclid ay nagpapakita ng mga katangian ng isang tatsulok hanggang sa gumuhit ng isang linya na naghahati nito sa dalawang bagong tatsulok na magkatulad at, naman, ay katulad ng orihinal na tatsulok; pagkatapos, mayroong isang relasyon ng proporsyonalidad.

Si Euclid ay isa sa mga pinakadakilang matematiko at geometricians ng sinaunang edad na nagsagawa ng ilang mga patunay ng mahahalagang teorema. Ang isa sa mga pangunahing isa ay ang nagdala ng kanyang pangalan, na kung saan ay nagkaroon ng malawak na aplikasyon.

Ito ay nangyari dahil, sa pamamagitan ng teorema na ito, ipinapaliwanag nito sa isang simpleng paraan ang mga ugnayang geometriko na mayroon sa tamang tatsulok, kung saan ang mga binti ng tatsulok ay nauugnay sa kanilang mga pag-aksyon sa hypotenuse.

Mga pormula at demonstrasyon

Ipinapahiwatig ng teorema ng Euclid na sa bawat kanang tatsulok, kapag ang isang linya ay iguguhit - na kumakatawan sa taas na tumutugma sa tuktok ng tamang anggulo na may paggalang sa hypotenuse - dalawang kanang tatsulok ay nabuo mula sa orihinal.

Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad sa bawat isa at magiging katulad din sa orihinal na tatsulok, na nangangahulugang ang magkaparehong panig ay proporsyonal sa bawat isa:

Ang mga anggulo ng tatlong tatsulok ay nakakaalam; ibig sabihin, kapag sila ay pinaikot ng 180 degrees tungkol sa kanilang pag-ukit, ang isang anggulo ay magkatugma sa isa pa. Ito ay nagpapahiwatig na silang lahat ay magkapareho.

Sa ganitong paraan, ang pagkakapareho na umiiral sa pagitan ng tatlong tatsulok ay maaari ring mapatunayan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng kanilang mga anggulo. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok, itinatag ng Euclid ang mga proporsyon ng mga ito mula sa dalawang teoryang:

- Taas teorya.

- Teorya ng mga binti.

Ang teorema na ito ay may malawak na aplikasyon. Sa mga sinaunang panahon ginamit ito upang makalkula ang taas o distansya, na kumakatawan sa isang mahusay na advance para sa trigonometrya.

Kasalukuyan itong inilalapat sa iba't ibang mga lugar na batay sa matematika, tulad ng engineering, pisika, kimika at astronomiya, bukod sa maraming iba pang mga lugar.

Taas teorema

Sa teorema na ito ay itinatag na sa anumang tamang tatsulok, ang taas na iginuhit mula sa tamang anggulo na may paggalang sa hypotenuse ay ang geometric proportional mean (ang parisukat ng taas) sa pagitan ng mga projection ng mga binti na tinutukoy nito sa hypotenuse.

Iyon ay, ang parisukat ng taas ay magiging katumbas ng pagpaparami ng mga inaasahang mga binti na bumubuo ng hypotenuse:

h _c ² = m _* n

Demonstrasyon

Ibinigay ang isang tatsulok na ABC, na kung saan ay tama sa vertex C, ang pag-plot ng taas ay bumubuo ng dalawang magkatulad na kanang tatsulok, ADC at BCD; samakatuwid, ang kanilang mga kaukulang panig ay proporsyonal:

Sa paraang ang taas h _c na tumutugma sa segment CD, ay tumutugma sa hypotenuse AB = c, sa gayon mayroon kami:

Kaugnay nito, tumutugma ito sa:

Ang paglutas para sa hypotenuse (h _c ), upang maparami ang dalawang miyembro ng pagkakapantay-pantay, mayroon kami:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Kaya, ang halaga ng hypotenuse ay ibinibigay ng:

Teyem ng binti

Sa teorema na ito, itinatag na, sa bawat kanang tatsulok, ang sukatan ng bawat binti ay ang geometric proportional mean (ang parisukat ng bawat binti) sa pagitan ng sukat ng hypotenuse (kumpleto) at ang pagpapalabas ng bawat isa sa ito:

b ² = c _* m

isang ² = c _* n

Demonstrasyon

Ibinigay ang isang tatsulok na ABC, na kung saan ay tama sa vertex C, sa paraang ang hypotenuse nito ay c, kapag binabalangkas ang taas (h) ang mga pagpapahiwatig ng mga binti ng isang at b ay tinutukoy, na kung saan ay ang mga segment na m at n ayon sa pagkakabanggit, at kung saan nakasalalay sa ang hypotenuse.

Kaya, mayroon kaming na ang taas na iginuhit sa kanang tatsulok na ABC ay bumubuo ng dalawang magkatulad na kanang tatsulok, ADC at BCD, upang ang mga kaukulang panig ay proporsyonal, tulad nito:

DB = n, na kung saan ay ang projection ng leg CB papunta sa hypotenuse.

AD = m, na kung saan ay ang projection ng leg AC sa hypotenuse.

Pagkatapos, ang hypotenuse c ay tinutukoy ng kabuuan ng mga binti ng mga pag-asa nito:

c = m + n

Dahil sa pagkakapareho ng mga tatsulok na ADC at BCD, mayroon kaming:

Ang nasa itaas ay pareho ng:

Paglutas para sa leg "a" upang maparami ang dalawang miyembro ng pagkakapantay-pantay, mayroon tayo:

a _* a = c _* n

isang ² = c _* n

Kaya, ang halaga ng leg "a" ay ibinigay ng:

Sa parehong paraan, dahil sa pagkakapareho ng mga tatsulok na ACB at ADC, mayroon kami:

Ang nasa itaas ay katumbas ng:

Paglutas para sa leg "b" upang maparami ang dalawang miyembro ng pagkakapantay-pantay, mayroon tayo:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Kaya, ang halaga ng leg "b" ay ibinibigay ng:

Pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga teorema ni Euclid

Ang mga teoryang may sanggunian sa taas at mga binti ay nauugnay sa bawat isa dahil ang sukatan ng pareho ay ginawa na may paggalang sa hypotenuse ng tamang tatsulok.

Sa pamamagitan ng kaugnayan ng mga teorema ng Euclid ang halaga ng taas ay matatagpuan din; posible ito sa pamamagitan ng paglutas ng mga halaga ng m at n mula sa leg theorem at sila ay pinalitan sa theorem ng taas. Sa ganitong paraan natutupad na ang taas ay katumbas ng pagpaparami ng mga binti, na hinati ng hypotenuse:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

isang ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Sa teorem ng taas ay pinapalitan natin ang m at n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (isang ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Malutas na ehersisyo

Halimbawa 1

Ibinigay ang tatsulok na ABC, kanan sa A, matukoy ang sukatan ng AC at AD, kung AB = 30 cm at BD = 18 cm

Solusyon

Sa kasong ito mayroon kaming mga sukat ng isa sa mga inaasahang binti (BD) at ng isa sa mga binti ng orihinal na tatsulok (AB). Sa ganitong paraan, maaaring mailapat ang leg theorem upang mahanap ang halaga ng leg BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Ang halaga ng leg CD ay matatagpuan na alam na BC = 50

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Ngayon posible upang matukoy ang halaga ng leg AC, ilalapat muli ang leg theorem:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Upang matukoy ang halaga ng taas (AD), ang theorem ng taas ay inilalapat, dahil ang mga halaga ng inaasahang mga binti ng CD at BD ay kilala:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Halimbawa 2

Alamin ang halaga ng taas (h) ng isang tatsulok na MNL, kanan sa N, alam ang mga sukat ng mga segment:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solusyon

Mayroon kaming sukat ng isa sa mga binti na inaasahang nasa hypotenuse (PM), pati na rin ang mga panukala ng mga binti ng orihinal na tatsulok. Sa ganitong paraan, ang teorema ng binti ay maaaring mailapat upang mahanap ang halaga ng iba pang inaasahang leg (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Dahil ang halaga ng mga binti at hypotenuse ay alam na, sa pamamagitan ng relasyon ng mga teorema ng taas at mga binti, ang halaga ng taas ay maaaring matukoy:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Mga Sanggunian

1. Braun, E. (2011). Mga kaguluhan, fractals at kakaibang bagay. Pondo ng Kulturang Pangkabuhayan.
2. Cabrera, VM (1974). Mga modernong Matematika, Tomo 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Ika-3 taong matematika. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (labing siyam na siyamnapu't lima). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publisher.
5. Euclid, RP (1886). Mga Elemento ng Geometry ng Euclid.
6. Guardeño, AJ (2000). Ang pamana ng matematika: mula Euclid hanggang Newton, ang mga henyo sa pamamagitan ng kanilang mga libro. Sevilla University.