TEOREMA NG MOIVRE: PATUNAY AT MALUTAS NA PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang teorya ng Moivre ay naglapat ng mga pangunahing proseso ng algebra, tulad ng mga kapangyarihan at pagkuha ng mga ugat sa mga kumplikadong numero. Ang teorem ay ipinahayag ng kilalang Pranses na matematiko na si Abraham de Moivre (1730), na nauugnay ang mga kumplikadong numero sa trigonometrya.

Ginawa ni Abraham Moivre ang samahan na ito sa pamamagitan ng mga expression ng sine at cosine. Ang matematiko na ito ay nabuo ng isang uri ng pormula kung saan posible na itaas ang isang kumplikadong numero z sa kapangyarihan n, na kung saan ay isang positibong integer na higit sa o katumbas ng 1.

Ano ang teorem ng Moivre?

Ang teorem ng Moivre ay nagsasaad ng mga sumusunod:

Kung mayroon kaming isang kumplikadong numero sa polar form z = r _Ɵ , kung saan r ang module ng kumplikadong numero z, at ang anggulo Ɵ ay tinatawag na amplitude o argument ng anumang kumplikadong numero na may 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, upang makalkula ang n— kapangyarihan hindi ito kinakailangan upang maparami ito sa pamamagitan ng kanyang sarili n-beses; iyon ay, hindi kinakailangan na gawin ang mga sumusunod na produkto:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-beses.

Sa kabaligtaran, ang teorema ay nagsasabi na, kapag nagsusulat ng z sa form na trigonometric nito, upang makalkula ang nth power na nagpapatuloy tayo tulad ng sumusunod:

Kung z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) kung gayon z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Halimbawa, kung n = 2, pagkatapos ay z ² = r ² . Kung n = 3, pagkatapos ay z ³ = z ² _* z. Gayundin:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Sa ganitong paraan, ang trigonometric ratios ng sine at kosine para sa maraming mga anggulo ay maaaring makuha, hangga't kilala ang mga trigonometrikong ratios ng anggulo.

Sa parehong paraan maaari itong magamit upang makahanap ng mas tumpak at hindi gaanong nakalilito na mga expression para sa n -th root ng isang kumplikadong numero z, kaya ang z ⁿ = 1.

Upang patunayan ang teorema ng Moivre, ang prinsipyo ng induction ng matematika ay ginagamit: kung ang isang integer na "a" ay mayroong isang pag-aari na "P", at kung para sa anumang integer "n" na higit sa "isang" na mayroong pag-aari na "P" Tinutupad nito na ang n + 1 ay mayroon ding pag-aari na "P", kung gayon ang lahat ng mga integer ay mas malaki kaysa o katumbas ng "a" magkaroon ng pag-aari "P".

Demonstrasyon

Kaya, ang patunay ng teorema ay ginagawa gamit ang mga sumusunod na hakbang:

Batayang induktibo

Una itong sinuri para sa n = 1.

Dahil ang z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ¹ = r ¹ , ang teorema ay humahawak para sa n = 1.

Inductive hypothesis

Ang formula ay ipinapalagay na totoo para sa ilang positibong integer, iyon ay, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Pag-verify

Ito ay napatunayan na totoo para sa n = k + 1.

Dahil z ^{k + 1} = z ^k _* z, pagkatapos ay z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Pagkatapos ay ang mga expression ay dumami:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Sa isang iglap ang kadahilanan r ^{k + 1} ay hindi pinansin , at ang karaniwang kadahilanan ay kinuha ko:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Dahil i ² = -1, pinalitan namin ito sa ekspresyon at nakuha namin:

(kos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Ngayon ang tunay na bahagi at ang haka-haka na bahagi ay iniutos:

(kos kƟ) _* (kosƟ) - (kasalanan kƟ) _* (sinƟ) + i.

Upang gawing simple ang expression, ang mga trigonometriko na pagkakakilanlan ng kabuuan ng mga anggulo ay inilalapat para sa kosine at sine, na:

kos (A + B) = kos A _* cos B - kasalanan A _* kasalanan B.

kasalanan (A + B) = kasalanan A _* cos B - cos A _* cos B.

Sa kasong ito, ang mga variable ay ang mga anggulo Ɵ at kƟ. Paglalapat ng mga trigonometric identities, mayroon kaming:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

kasalanan kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = kasalanan (kƟ + Ɵ)

Sa ganitong paraan, ang expression ay:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (kos (kƟ + Ɵ) + i _* kasalanan (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* kasalanan).

Sa gayon ay maipakita na ang resulta ay totoo para sa n = k + 1. Sa pamamagitan ng prinsipyo ng induction ng matematika, napagpasyahan na ang resulta ay totoo para sa lahat ng mga positibong integer; iyon ay, n 1.

Negatibong integer

Ang teorem ng Moivre ay inilalapat din kapag n ≤ 0. Isaalang-alang natin ang isang negatibong integer «n»; kung gayon ang "n" ay maaaring isulat bilang "-m", iyon ay, n = -m, kung saan ang "m" ay isang positibong integer. Kaya:

(kos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ^-m

Upang makuha ang exponent «m» sa isang positibong paraan, ang ekspresyon ay nakasulat nang paulit-ulit:

(cos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (kos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Ngayon, ginagamit na kung ang z = a + b * i ay isang kumplikadong numero, pagkatapos ay 1 ÷ z = ab * i. Kaya:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = kos (mƟ) - ako _* kasalanan (mƟ).

Gamit ang kos (x) = cos (-x) at na -sen (x) = kasalanan (-x), mayroon tayo:

(kos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* kasalanan Ɵ) ⁿ = kos (- mƟ) + i _* kasalanan (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = kos (nƟ) - i _* kasalanan (nƟ).

Kaya, masasabi na ang teorya ay nalalapat sa lahat ng mga halaga ng integer ng "n".

Malutas na ehersisyo

Pagkalkula ng mga positibong kapangyarihan

Ang isa sa mga operasyon na may mga kumplikadong numero sa kanilang polar form ay ang pagpaparami ng dalawa sa mga ito; sa kaso na ang mga module ay dumami at ang mga argumento ay idinagdag.

Kung mayroon kang dalawang kumplikadong numero z _{1 at} z ₂ at nais mong makalkula (z ₁ * z ₂ ) ² , pagkatapos ay magpatuloy ka tulad ng sumusunod:

z ₁ z ₂ = *

Nalalapat ang pamamahagi ng pag-aari:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* kasalanan Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* kasalanan Ɵ _{1 *} kasalanan Ɵ ₂ ).

Sila ay pinagsama-sama, na kumukuha ng salitang "i" bilang isang karaniwang kadahilanan ng mga expression:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Dahil i ² = -1, ito ay nahalili sa expression:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Ang totoong mga termino ay muling naipon at tunay, at haka-haka na may haka-haka:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Sa wakas, ang mga katangian ng trigonometric ay nalalapat:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Sa konklusyon:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Ehersisyo 1

Isulat ang kumplikadong numero sa polar form kung z = - 2 -2i. Pagkatapos, gamit ang teorem ng Moivre, kalkulahin ang z ⁴ .

Solusyon

Ang kumplikadong numero z = -2 -2i ay ipinahayag sa hugis-parihaba na form z = a + bi, kung saan:

isang = -2.

b = -2.

Alam na ang polar form ay z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), kailangan nating alamin ang halaga ng modulus "r" at ang halaga ng argumento "Ɵ". Dahil r = √ (a² + b²), ang mga naibigay na halaga ay nahalili:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Pagkatapos, upang matukoy ang halaga ng «Ɵ», ang hugis-parihaba na hugis nito ay inilalapat, na ibinibigay ng pormula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Dahil ang tan (Ɵ) = 1 at mayroon kaming isang <0, kung gayon mayroon kami:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Dahil nakuha na ang halaga ng «r» at «Ɵ», ang kumplikadong numero z = -2 -2i ay maipahayag sa polar form sa pamamagitan ng paghahalili ng mga halaga:

z = 2√2 (kos (5Π / 4) + i _* kasalanan (5Π / 4)).

Ngayon ginagamit namin ang teorem ng Moivre upang makalkula ang z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (kos (5Π / 4) + i _* kasalanan (5Π / 4)) ⁴

= 32 (kos (5Π) + i _* kasalanan (5Π)).

Mag-ehersisyo 2

Hanapin ang produkto ng mga kumplikadong numero sa pamamagitan ng pagpapahayag nito sa polar form:

z1 = 4 (kos 50 ^o + i _* kasalanan 50 ^o )

z2 = 7 (kos 100 ^o + i _* kasalanan 100 ^o ).

Pagkatapos kalkulahin (z1 * z2) ².

Solusyon

Una ang produkto ng mga ibinigay na numero ay nabuo:

z ₁ z ₂ = *

Pagkatapos ang mga module ay dumami sa bawat isa, at idinagdag ang mga argumento:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Ang expression ay pinasimple:

z ₁ z ₂ = 28 _* (kos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Sa wakas, ang teorema ng Moivre ay nalalapat:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o ).

Pagkalkula ng mga negatibong kapangyarihan

Upang hatiin ang dalawang kumplikadong mga numero z _{1 at} z ₂ sa kanilang polar form, ang modulus ay nahahati at ang mga argumento ay binawi. Sa gayon, ang quiento ay z ₁ ÷ z ₂ at ipinahayag bilang mga sumusunod:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Tulad ng sa nakaraang kaso, kung nais nating kalkulahin (z1 ÷ z2) ³, ang dibisyon ay unang isinasagawa at pagkatapos ay ang teorema ni Moivre ay ginamit.

Mag-ehersisyo 3

Mga Dice:

z1 = 12 (kos (3π / 4) + i * kasalanan (3π / 4)),

z2 = 4 (kos (π / 4) + i * kasalanan (π / 4)),

kalkulahin (z1 ÷ z2) ³.

Solusyon

Ang pagsunod sa mga hakbang na inilarawan sa itaas ay maaaring tapusin na:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (kos (3π / 4 - π / 4) + i * kasalanan (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (kos (π / 2) + i * kasalanan (π / 2))) ³

= 27 (kos (3π / 2) + i * kasalanan (3π / 2)).

Mga Sanggunian

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
2. Croucher, M. (nd). Mula sa teorem ng Moivre para sa Trig Identities. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia ng Matematika.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra at Trigonometry.
5. Pérez, CD (2010). Edukasyon sa Pearson.
6. Stanley, G. (nd). Linya algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Pag-precalculation. Edukasyon sa Pearson.