TEOREMA NG STEINER: PALIWANAG, APLIKASYON, EHERSISYO - PISIKAL - 2025

Ang teorema ng Steiner , na kilala rin bilang parallel axis theorem, upang masuri ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang pinahabang katawan, tungkol sa isang axis na kahanay sa isa pang pagdaan sa gitna ng masa ng bagay.

Ito ay natuklasan sa pamamagitan ng ang Swiss matematiko Jakob Steiner (1796 -1863) at estado ang mga sumusunod: hayaan ko _{CM maging} ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bagay na may paggalang sa isang axis ng pagpasa sa pamamagitan ng kanyang sentro ng mass CM at ako _z ang sandali ng pagkawalang-kilos na may paggalang sa ibang axis kahanay dito.

Larawan 1. Ang isang hugis-parihaba na pintuan na umiikot sa mga bisagra nito ay may isang sandali ng pagkawalang-galaw na maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pag-apply sa teorema ni Steiner. Pinagmulan: Pixabay.

Alam ang distansya D na naghihiwalay sa parehong mga axes at ng mass M ng katawan na pinag-uusapan, ang sandali ng inertia na may paggalang sa hindi kilalang axis ay:

Ang sandali ng inertia ay nagpapahiwatig kung gaano kadali para sa isang bagay na paikutin sa paligid ng isang tiyak na axis. Ito ay nakasalalay hindi lamang sa masa ng katawan, ngunit kung paano ito ipinamamahagi. Para sa kadahilanang ito ay kilala rin bilang rotational inertia, na ang mga yunit nito sa International System Kg. m ² .

Ipinapakita ng teorema na ang sandali ng inertia I _z ay palaging mas malaki kaysa sa sandali ng inertia I _{CM sa} pamamagitan ng isang dami na ibinigay ng MD ² .

Aplikasyon

Dahil ang isang bagay ay may kakayahang umiikot sa paligid ng maraming mga palakol, at sa mga talahanayan ay karaniwang lamang ng sandali ng pagkawalang-galaw ay bibigyan ng paggalang sa axis na dumadaan sa centroid, ang teorema ng Steiner ay nagpapadali sa pagkalkula kung kinakailangan upang paikutin ang mga katawan sa mga palakol. hindi tumutugma ito.

Halimbawa, ang isang pinto ay karaniwang hindi umiikot tungkol sa isang axis sa pamamagitan ng sentro ng masa, ngunit tungkol sa isang pag-ilid na axis, kung saan ang mga bisagra ay sumunod.

Sa pamamagitan ng pag-alam sa sandali ng pagkawalang-galaw posible upang makalkula ang kinetic enerhiya na nauugnay sa pag-ikot tungkol sa sinabi na axis. Kung K ang enerhiya ng kinetic, ako ang sandali ng pagkawalang-kilos sa paligid ng axis na pinag-uusapan at ω ang angular na tulin, sumusunod ito sa:

Ang ekwasyong ito ay halos kapareho sa pamilyar na formula para sa kinetic energy para sa isang bagay ng mass M na gumagalaw sa bilis v: K = ½ Mv ² . At ito ay ang sandali ng pagkawalang-galaw o rotational inertia Ginampanan ko ang parehong tungkulin sa pag-ikot bilang masa M sa pagsasalin.

Patunay ng teorema ni Steiner

Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang pinahabang bagay ay tinukoy bilang:

I = ² r ² dm

Kung saan ang dm ay isang infinitesimal na bahagi ng masa at r ang distansya sa pagitan ng dm at ang axis ng pag-ikot z. Sa figure 2 ang axis na ito ay tumatawid sa gitna ng mass CM, gayunpaman maaari itong maging anumang.

Larawan 2. Isang bagay na pinahaba sa pag-ikot sa paligid ng dalawang magkaparehong ehe. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa paligid ng isa pang axis ng z ', ang sandali ng inertia ay:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Ngayon, ayon sa tatsulok na nabuo ng mga vectors D , r at r ' (tingnan ang figure 2 sa kanan), mayroong isang kabuuan ng vector:

r + r ' = D → r' = D - r

Ang tatlong vectors ay namamalagi sa eroplano ng bagay, na maaaring maging xy. Ang pinagmulan ng system ng coordinate (0,0) ay napili sa CM upang mapadali ang mga kalkulasyon na susunod.

Sa ganitong paraan ang parisukat na module ng vector r ' ay:

Ngayon ang pagbuo na ito ay nahalili sa integral ng sandali ng inertia I _z at pati na rin ang kahulugan ng density dm = ρ.dV ay ginagamit:

Ang salitang M. D ² na lumilitaw sa teorema ni Steiner ay nagmula sa unang integral, ang pangalawa ay ang sandali ng pagkawalang-galaw na may paggalang sa axis na dumadaan sa CM.

Para sa kanilang bahagi, ang pangatlo at ikaapat na integral ay nagkakahalaga ng 0, dahil sa kahulugan ay bumubuo sila ng posisyon ng CM, na napili bilang pinagmulan ng sistema ng coordinate (0,0).

Malutas na ehersisyo

-Natapos na ehersisyo 1

Ang hugis-parihaba na pintuan sa Figure 1 ay may masa na 23 kg, 1.30 ang lapad at 2.10 m ang taas. Alamin ang sandali ng pagkawalang-kilos ng pintuan na may paggalang sa axis na dumadaan sa mga bisagra, na inaakalang ang pintuan ay payat at pantay.

Larawan 3. Schematic for Worked Halimbawa 1. Pinagmulan: nabago mula sa Pixabay.

Solusyon

Mula sa isang talahanayan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw, para sa isang hugis-parihaba na plate ng mass M at mga sukat a at b, ang sandali ng inertia na may paggalang sa axis na dumaan sa gitna ng masa nito ay: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Ang isang homogenous na gate ay ipapalagay (isang approximation, dahil ang gate sa figure ay marahil hindi ganoon). Sa ganitong kaso, ang sentro ng masa ay dumadaan sa geometric center nito. Sa figure 3 isang axis na dumadaan sa gitna ng masa ay iginuhit at naaayon din sa axis na dumadaan sa mga bisagra.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ² ) m ² = 11.7 Kg.m ²

Paglalapat ng teorema ni Steiner para sa berdeng axis ng pag-ikot:

I = I _CM + MD ² = 11.7 Kg.m ² + 23 Kg x 0.652 m ² = 21.4 Kg.

-Natapos na ehersisyo 2

Hanapin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous manipis na baras kapag ito ay umiikot tungkol sa isang axis na dumadaan sa isa sa mga dulo nito, tingnan ang figure. Ito ba ay mas malaki o mas mababa sa sandali ng pagkawalang-galaw kapag ito ay umiikot sa paligid ng sentro nito? Bakit?

Larawan 4. Scheme para sa nalulutas na halimbawa 2. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon

Ayon sa talahanayan ng mga sandali ng pagkawalang-kilos, ang sandali ng inertia I _CM ng isang manipis na baras ng masa M at haba L ay: I _CM = (1/12) ML ²

At ang teorema ni Steiner ay nagsasabi na kapag ito ay pinaikot sa paligid ng isang axis na dumadaan sa isang dulo D = L / 2 nananatili ito:

Ito ay mas malaki, kahit na hindi lamang dalawang beses, ngunit 4 na beses pa, dahil ang iba pang kalahati ng baras (hindi shaded sa figure) ay umiikot na naglalarawan ng isang mas malaking radius.

Ang impluwensya ng distansya sa axis ng pag-ikot ay hindi magkakatulad, ngunit kuwadrador. Ang isang masa na doble ang distansya bilang isa pa ay magkakaroon ng sandali ng inertia proporsyonal sa (2D) ² = 4D ² .

Mga Sanggunian

1. Bauer, W. 2011. Physics para sa Teknolohiya at Siyensya. Dami 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Paggalaw ng Pag-ikot. Nabawi mula sa: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallel Axis Theorem. Nabawi mula sa: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Mga Batayan ng Pisika. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Paralel axis teorem. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org