TEOREMA NI VARIGNON: MGA HALIMBAWA AT MALULUTAS NA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang teorem Varignon ay nagsasaad na kung ang anumang quadrilateral ay patuloy na konektado sa mga midpoints ng mga panig, nabuo ang isang paralelogram. Teorem na ito ay nabuo ni Pierre Varignon at inilathala noong 1731 sa aklat na Mga Elemento ng matematika ”.

Ang paglathala ng libro ay naganap ilang taon pagkamatay niya. Dahil ito ang Varignon na nagpakilala sa teorema na ito, ang paralelogram ay pinangalanan sa kanya. Ang teorem ay batay sa Euclidean geometry at nagtatanghal ng mga geometric na relasyon ng quadrilaterals.

Ano ang teorema ni Varignon?

Sinabi ni Varignon na ang isang figure na tinukoy ng mga midpoints ng isang quadrilateral ay palaging magreresulta sa isang paralelogram, at ang lugar ng paralelogram ay palaging magiging kalahati ng lugar ng quadrilateral kung ito ay patag at matambok. Halimbawa:

Sa figure maaari kang makakita ng isang quadrilateral na may isang lugar X, kung saan ang mga midpoints ng mga panig ay kinakatawan ng E, F, G at H at, kapag sumali, bumubuo ng isang paralelogram. Ang lugar ng quadrilateral ay magiging kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok na nabuo, at ang kalahati ng ito ay tumutugma sa lugar ng paralelogram.

Dahil ang lugar ng paralelogram ay kalahati ng lugar ng quadrilateral, ang perimeter ng paralelogram na iyon ay maaaring matukoy.

Sa gayon, ang perimeter ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga diagonal ng quadrilateral; ito ay dahil ang mga median ng quadrilateral ay magiging mga diagonal ng paralelogram.

Sa kabilang banda, kung ang mga haba ng mga diagonal ng quadrilateral ay eksaktong pareho, ang paralelogram ay magiging isang rhombus. Halimbawa:

Mula sa figure maaari itong makita na, sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoints ng mga gilid ng quadrilateral, nakuha ang isang rhombus. Sa kabilang banda, kung ang mga diagonal ng quadrilateral ay patayo, ang paralelogram ay magiging isang parihaba.

Gayundin ang paralelogram ay magiging isang parisukat kapag ang quadrilateral ay may mga diagonal na may parehong haba at sila rin ay patayo.

Ang teorema ay hindi natutupad lamang sa mga quadrilateral ng eroplano, ipinatupad din ito sa spatial geometry o sa malalaking sukat; iyon ay, sa mga quadrilateral na hindi convex. Ang isang halimbawa nito ay maaaring maging isang octahedron, kung saan ang mga midpoints ay ang mga sentro ng bawat mukha at bumubuo ng isang parallelepiped.

Sa ganitong paraan, sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoints ng iba't ibang mga figure, maaaring makuha ang paralelograms. Ang isang madaling paraan upang suriin kung ito ay tunay na totoo ay ang kabaligtaran na panig ay dapat na kahanay kapag pinalawak.

Mga halimbawa

Unang halimbawa

Ang pagpapalawak ng mga kabaligtaran na panig upang ipakita na ito ay isang paralelogram:

Pangalawang halimbawa

Sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoints ng isang rhombus, ang isang rektanggulo ay nakuha:

Ginagamit ang teorem sa unyon ng mga puntos na matatagpuan sa gitna ng mga gilid ng isang quadrilateral, at maaari din itong magamit para sa iba pang mga uri ng mga puntos, tulad ng isang trisection, penta-section, o kahit na isang walang katapusang bilang ng mga seksyon ( n), upang hatiin ang mga panig ng anumang quadrilateral sa mga segment na proporsyonal.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Sa figure na mayroon kaming isang quadrilateral ABCD ng lugar Z, kung saan ang mga midpoints ng mga gilid nito ay PQSR. Suriin na ang isang Varignon paralelogram ay nabuo.

Solusyon

Makikita na sa pamamagitan ng pagsali sa mga puntos ng PQSR isang nabuo na paralelogram ng Varignon, tiyak dahil ang mga midpoints ng isang quadrilateral ay ibinibigay sa pahayag.

Upang ipakita ito, una ang mga midpoints na PQSR ay sumali, kaya makikita na nabuo ang isa pang quadrilateral. Upang patunayan na ito ay isang paralelogram, kailangan mo lamang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa punto C hanggang point A, kaya makikita na ang CA ay kahanay sa PQ at RS.

Sa parehong paraan, kapag pinalawak ang mga panig PQRS makikita na ang PQ at RS ay magkatulad, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na imahe:

Mag-ehersisyo 2

Mayroon kaming isang rektanggulo tulad na ang mga haba ng lahat ng mga panig nito ay pantay. Sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoints ng mga panig na ito, ang isang rhombus ABCD ay nabuo, na nahahati sa pamamagitan ng dalawang diagonals AC = 7cm at BD = 10cm, na nag-tutugma sa mga sukat ng mga gilid ng parihaba. Alamin ang mga lugar ng rhombus at ang rektanggulo.

Solusyon

Ang pag-alala na ang lugar ng nagreresultang paralelogram ay kalahati ng quadrilateral, ang lugar ng mga ito ay maaaring matukoy nang malaman na ang sukat ng mga diagonals ay magkakasabay sa mga panig ng parihaba. Kaya kailangan mong:

AB = D

CD = d

Isang _rektanggulo = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

Isang _rhombus = Isang _parihaba / 2

Ang isang _rombo = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Mag-ehersisyo 3

Sa pigura ay may isang kuwadrador na mayroong unyon ng mga puntos na EFGH, ang mga haba ng mga segment ay ibinibigay. Alamin kung ang unyon ng EFGH ay isang paralelogram.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

Solusyon

Tulad ng ibinigay ang mga haba ng mga segment, maaari itong mapatunayan kung mayroong proporsyonalidad sa pagitan ng mga segment; iyon ay, maaari mong malaman kung magkapareho sila, na may kaugnayan sa mga segment ng quadrilateral tulad ng sumusunod:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Pagkatapos ang proporsyonalidad ay nasuri, mula sa:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Katulad nito, kapag ang pagguhit ng isang linya mula sa punto B hanggang point D, makikita na ang EH ay kahanay sa BD, tulad ng BD ay kahanay sa FG. Sa kabilang banda, ang EF ay kahanay sa GH.

Sa gayon maaari itong matukoy na ang EFGH ay isang paralelogram, dahil ang kabaligtaran na panig ay kahanay.

Mga Sanggunian

1. Andres, T. (2010). Matematika na Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Plano Euclidean Geometry. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Pag-aaral ng Geometries. Mexico: Hispanic - Amerikano.
4. Ramo, GP (1998). Hindi kilalang solusyon sa mga problema sa Fermat-Torricelli. ISBN - Malayang gawain.
5. Vera, F. (1943). Mga Elemento ng Geometry. Bogota
6. Mga Villiers, M. (1996). Ang ilang mga Adventures sa Euclidean Geometry. Timog Africa.