- Mga numero ng pinagsama-samang
- Demonstrasyon
- Mga halimbawa
- Pagkakakilanlan 1
- Pagkakakilanlan 2
- Isa pang demonstrasyon
- Patunay ng induction
- Mga curiosities
- Mga Sanggunian
Ang binomial teorem ay isang equation na nagsasabi sa amin kung paano bumuo ng isang expression ng form (a + b) n para sa ilang natural na numero n. Ang isang binomial ay walang iba kundi ang kabuuan ng dalawang elemento, tulad ng (a + b). Pinapayagan din nating malaman para sa isang term na ibinigay ng isang k b n-k kung ano ang koepisyent na kasama nito.
Ang teorem na ito ay karaniwang maiugnay sa imbentor ng Ingles, pisiko at matematiko na si Sir Isaac Newton; Gayunpaman, natagpuan ang iba't ibang mga tala na nagpapahiwatig na ang pagkakaroon nito ay kilala na sa Gitnang Silangan, sa paligid ng taong 1000.
Mga numero ng pinagsama-samang
Ang binomial teorem matematiko ay nagsasabi sa amin ng mga sumusunod:
Sa expression na ito a at b ay mga tunay na numero at n ay isang likas na numero.
Bago ibigay ang demo, tingnan natin ang ilang mga pangunahing konsepto na kinakailangan.
Ang pinagsama-samang numero o kombinasyon ng n sa k ay ipinahayag tulad ng sumusunod:
Ang form na ito ay nagpapahayag ng halaga ng kung gaano karaming mga subset na may mga elemento ng k ang maaaring mapili mula sa isang hanay ng mga n elemento. Ang algebraic expression na ito ay ibinibigay ng:
Tingnan natin ang isang halimbawa: ipagpalagay na mayroon kaming isang pangkat ng pitong bola, kung saan dalawa ang pula at ang natitira ay asul.
Nais naming malaman kung gaano karaming mga paraan na maaari naming ayusin ang mga ito nang sunud-sunod. Ang isang paraan ay maaaring ilagay ang dalawang pula sa una at pangalawang posisyon, at ang natitirang mga bola sa natitirang mga posisyon.
Katulad sa nakaraang kaso, maaari naming bigyan ang pulang bola ng una at huling posisyon ayon sa pagkakabanggit, at sakupin ang iba na may mga asul na bola.
Ngayon isang mahusay na paraan upang mabilang kung gaano karaming mga paraan na maaari naming ayusin ang mga bola nang sunud-sunod ay sa pamamagitan ng paggamit ng mga numero ng kombinatorial. Maaari naming makita ang bawat posisyon bilang isang elemento ng mga sumusunod na hanay:
Pagkatapos ito ay nananatiling pumili lamang ng isang subset ng dalawang elemento, kung saan ang bawat isa sa mga elementong ito ay kumakatawan sa posisyon na sakupin ng mga pulang bola. Maaari naming gawin ang pagpili ayon sa kaugnayan na ibinigay ng:
Sa ganitong paraan, mayroon kaming 21 mga paraan upang mag-order ng mga bola na ito.
Ang pangkalahatang ideya ng halimbawang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa pagpapatunay ng teorem ng binomial. Tingnan natin ang isang partikular na kaso: kung n = 4, mayroon kami (a + b) 4 , na walang higit pa sa:
Kapag binuo namin ang produktong ito, kami ay naiwan sa kabuuan ng mga term na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang elemento ng bawat isa sa apat na mga kadahilanan (a + b). Sa gayon, magkakaroon kami ng mga termino na magiging anyo:
Kung nais naming makuha ang termino sa form a 4 , kailangan lang nating dumami tulad ng sumusunod:
Tandaan na may isang paraan lamang upang makuha ang elementong ito; ngunit ano ang mangyayari kung hahanapin natin ngayon ang term ng form ng 2 b 2 ? Dahil ang "a" at "b" ay tunay na mga numero at, samakatuwid, ang batas ng commutative ay may bisa, mayroon kaming isang paraan upang makuha ang term na ito ay ang pagdami kasama ng mga miyembro tulad ng ipinahiwatig ng mga arrow.
Ang pagsasagawa ng lahat ng mga operasyon na ito ay karaniwang medyo nakakapagod, ngunit kung nakikita natin ang term na "a" bilang isang kumbinasyon kung saan nais nating malaman kung gaano karaming mga paraan na maaari nating pumili ng dalawang "a" mula sa isang hanay ng apat na mga kadahilanan, maaari nating gamitin ang ideya mula sa nakaraang halimbawa. Kaya, mayroon kaming mga sumusunod:
Sa gayon, alam natin na sa panghuling pagpapalawak ng expression (a + b) 4 magkakaroon tayo ng eksaktong 6a 2 b 2 . Gamit ang parehong ideya para sa iba pang mga elemento, kailangan mong:
Pagkatapos ay idinagdag namin ang mga expression na nakuha dati at mayroon kami na:
Ito ay isang pormal na patunay para sa pangkalahatang kaso kung saan ang "n" ay anumang natural na numero.
Demonstrasyon
Tandaan na ang mga salitang iniwan sa pamamagitan ng pagpapalawak (a + b) n ay pormularyo ng isang k b n-k , kung saan ang k = 0,1, …, n. Gamit ang ideya ng nakaraang halimbawa, mayroon kaming paraan upang pumili ng mga «k» variable «a» ng «n» na mga kadahilanan ay:
Sa pamamagitan ng pagpili sa ganitong paraan, awtomatiko kaming pumili ng mga variable na nk "b". Mula dito ay sumusunod na:
Mga halimbawa
Isinasaalang-alang (a + b) 5 , ano ang magiging pag-unlad nito?
Sa pamamagitan ng binomial teorem mayroon kami:
Ang binomial teorem ay lubhang kapaki-pakinabang kung mayroon kaming isang expression kung saan nais naming malaman kung ano ang koepisyent ng isang tiyak na termino ay hindi kinakailangang gawin ang buong pagpapalawak. Bilang isang halimbawa maaari nating gawin ang mga sumusunod na hindi alam: ano ang koepisyent ng x 7 at 9 sa pagpapalawak ng (x + y) 16 ?
Sa pamamagitan ng binomial teorem, mayroon kaming ang koepisyent ay:
Ang isa pang halimbawa ay: ano ang koepisyent ng x 5 at 8 sa pagpapalawak ng (3x-7y) 13 ?
Una ay muling isulat namin ang expression sa isang maginhawang paraan; ito ay:
Pagkatapos, gamit ang binomial teorem, mayroon kaming na hinahangad na koepisyent kapag mayroon kaming k = 5
Ang isa pang halimbawa ng paggamit ng teorema na ito ay sa patunay ng ilang mga karaniwang pagkakakilanlan, tulad ng mga susunod na babanggitin natin.
Pagkakakilanlan 1
Kung ang «n» ay isang likas na bilang, mayroon kami:
Para sa patunay na ginagamit namin ang binomial teorama, kung saan ang parehong «a» at «b» ay kukuha ng halaga ng 1. Pagkatapos ay mayroon kami:
Sa ganitong paraan napatunayan namin ang unang pagkakakilanlan.
Pagkakakilanlan 2
Kung ang "n" ay isang natural na numero, kung gayon
Sa pamamagitan ng binomial teorem mayroon kami:
Isa pang demonstrasyon
Maaari kaming gumawa ng ibang patunay para sa binomial teorem gamit ang induktibong pamamaraan at pagkakakilanlan ni Pascal, na nagsasabi sa amin na, kung «n» at «k» ay mga positibong integer na nagbibigay kasiyahan sa n ≥ k, kung gayon:
Patunay ng induction
Tingnan muna natin na may hawak ang induktibong base. Kung n = 1, mayroon kaming:
Sa katunayan, nakikita natin na natutupad ito. Ngayon, hayaan ang n = j tulad na:
Nais naming makita na para sa n = j + 1 ito ay totoo na:
Kaya kailangan nating:
Sa pamamagitan ng hypothesis alam natin na:
Pagkatapos, gamit ang pamamahagi ng pamamahagi:
Kasunod nito, pagbuo ng bawat isa sa mga pag-iinit, mayroon kaming:
Ngayon, kung mag-grupo kami sa isang maginhawang paraan, mayroon kaming:
Gamit ang pagkakakilanlan ng pascal, mayroon kami:
Sa wakas, tandaan na:
Samakatuwid, nakikita namin na ang binomial teorem ay humahawak para sa lahat ng "n" na kabilang sa mga likas na numero, at kasama nito ang patunay ay nagtatapos.
Mga curiosities
Ang kombinatorial number (nk) ay tinatawag ding binomial coefficient dahil tiyak na ang koepisyent na lumilitaw sa pagbuo ng binomial (a + b) n .
Nagbigay si Isaac Newton ng isang generalization ng teorem na ito para sa kaso kung saan ang exponent ay isang tunay na bilang; Ang teorem na ito ay kilala bilang binomial teorem ng Newton.
Nasa mga sinaunang panahon ang resulta na ito ay kilala para sa partikular na kaso kung saan n = 2. Ang kasong ito ay nabanggit sa Elemen Euclid.
Mga Sanggunian
- Johnsonbaugh Richard. Discrete matematika. PHH
- Kenneth.H. Rosenado. Discrete Matematika at ang mga Aplikasyon nito. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Discrete Matematika. McGRAW-HILL.
- Ralph P. Grimaldi. Discrete at Combinatorial Mathematics. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis. . Discrete at Combinatorial Mathematics Anthropos