MGA TESSELLATIONS: KATANGIAN, URI (REGULAR, HINDI REGULAR), MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga tagilid ay pinahiran na ibabaw ng isa o higit pang mga figure na tinatawag na tesserae. Nasa saan sila: sa mga kalye at gusali ng lahat ng uri. Ang mga tile o tile ay mga flat na piraso, sa pangkalahatan ay mga polygons na may congruent o isometric na mga kopya, na inilalagay kasunod ng isang regular na pattern. Sa ganitong paraan walang mga natitirang puwang na walang takip at ang mga tile o mosaic ay hindi mag-overlay.

Sa kaso na ang isang solong uri ng mosaic na nabuo ng isang regular na polygon ay ginagamit, kung gayon mayroong isang regular na tessellation, ngunit kung dalawa o higit pang mga uri ng mga regular na polygons ay ginagamit, kung gayon ito ay isang semi-regular na tessellation.

Larawan 1. Ang sahig ng tile na may irregular tessellation, dahil ang mga parihaba ay hindi regular na polygons, kahit na ang mga parisukat. Pinagmulan: Pixabay.

Sa wakas, kapag ang mga polygons na mga form ng tessellation ay hindi regular, kung gayon ito ay isang hindi regular na tessellation.

Ang pinaka-karaniwang uri ng tessellation ay nabuo sa pamamagitan ng hugis-parihaba at partikular na square mosaics. Sa figure 1 mayroon kaming isang magandang halimbawa.

Kasaysayan ng mga tessellations

Ang tessellation ay ginamit sa libu-libong taon upang masakop ang mga sahig at dingding ng mga palasyo at mga templo ng iba't ibang kultura at relihiyon.

Halimbawa, ang sibilisasyong Sumerian na umusbong sa paligid ng 3500 BC sa timog ng Mesopotamia, sa pagitan ng mga ilog ng Euprates at Tigris, ay ginamit ang mga tessellation sa kanilang arkitektura.

Larawan 2. Mga tessellations ng Sumerian sa gate ng Istar. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang mga tessellations ay nagdulot din ng interes ng mga matematiko sa lahat ng edad: nagsisimula sa Archimedes noong ika-3 siglo BC, kasunod ni Johannes Kepler noong 1619, Camille Jordan noong 1880, hanggang sa mga kontemporaryong oras kasama si Roger Penrose.

Ang Penrose ay lumikha ng isang di-pana-panahong tessellation na kilala bilang Penessose tessellation. Ito ay ilan lamang sa mga pangalan ng mga siyentipiko na nag-ambag ng marami tungkol sa tessellation.

Regular na tessellations

Ang mga regular na tessellations ay ginawa gamit ang isang uri lamang ng regular na polygon. Sa kabilang banda, para sa tessellation na maituturing na regular, bawat punto ng eroplano ay dapat:

-Belong sa interior ng polygon

-O sa gilid ng dalawang katabing polygons

-Kung ito ay maaaring kabilang sa mga karaniwang pag-ukit ng hindi bababa sa tatlong polygons.

Sa mga pagbabawal sa itaas ay maipakita na ang mga makatarungang tatsulok, mga parisukat at hexagon ay maaaring makabuo ng isang regular na tessellation.

Pangngalan

Mayroong isang pangngalan upang magpahiwatig ng mga tessellations na binubuo ng listahan sa isang direksyon sa orasan at pinaghiwalay ng isang punto, ang bilang ng mga panig ng polygons na pumapaligid sa bawat node (o vertex) ng tessellation, palaging nagsisimula sa polygon na may pinakamababang bilang panig.

Ang nomenclature na ito ay nalalapat sa regular at semi-regular na tessellations.

Halimbawa 1: Triangular tessellation

Ipinapakita ng Figure 3 ang isang regular na tatsulok na tessellation. Dapat pansinin na ang bawat node ng tatsulok na tessellation ay ang karaniwang vertex ng anim na equilateral triangles.

Ang paraan upang maipahiwatig ang ganitong uri ng tessellation ay 3.3.3.3.3.3, na kung saan ay tinutukoy din ng 3 ⁶ .

Larawan 3. Regular na tatsulok na tessellation 3.3.3.3.3.3. Pinagmulan: mga wikon commons

Halimbawa 2: Pag-talis ng parisukat

Ipinapakita ng Figure 4 ang isang regular na tessellation na binubuo lamang ng mga parisukat. Dapat pansinin na ang bawat node sa tessellation ay napapalibutan ng apat na mga kongresong parisukat. Ang notasyon na inilalapat sa ganitong uri ng square tessellation ay: 4.4.4.4 o kahalili 4 ⁴

Larawan 4. Pagsisikil sa square 4.4.4.4. Pinagmulan: mga wikon commons.

Halimbawa 3: Hexagonal tessellation

Sa isang hexagonal tessellation bawat node ay napapalibutan ng tatlong regular na hexagons tulad ng ipinapakita sa figure 5. Ang nomenclature para sa isang regular na hexagonal tessellation ay 6.6.6 o kahalili 6 ³ .

Larawan 5. Hexagonal tessellation 6.6.6. Pinagmulan: mga wikon commons.

Mga semi-regular na tessellations

Ang semi-regular o Archimedean tessellations ay binubuo ng dalawa o higit pang mga uri ng mga regular na polygons. Ang bawat node ay napapalibutan ng mga uri ng polygons na bumubuo ng tessellation, palaging nasa parehong pagkakasunud-sunod, at ang kondisyon sa gilid ay ganap na ibinahagi sa kapitbahay.

Mayroong walong semi-regular na tessellations:

1. 3.6.3.6 (tessellation ng tri-hexagonal)
2. 3.3.3.3.6 (blunt hexagonal tessellation)
3. 3.3.3.4.4 (pahaba na tatsulok na tessellation)
4. 3.3.4.3.4 (blunt square tessellation)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonal tessellation)
6. 4.8.8 (truncated square tessellation)
7. 3.12.12 (truncated hexagonal tessellation)
8. 4.6.12 (truncated tri-hexagonal tessellation)

Ang ilang mga halimbawa ng mga semi-regular na tessellations ay ipinapakita sa ibaba.

Halimbawa 4: Tri-hexagonal tessellation

Ito ay ang isa na binubuo ng equilateral triangles at regular na heksagon sa 3.6.3.6 na istraktura, na nangangahulugang ang isang node ng tessellation ay napapalibutan (hanggang sa pagkumpleto ng isang tira) sa pamamagitan ng isang tatsulok, isang heksagon, isang tatsulok at isang heksagon. Ipinapakita ng Figure 6 ang tulad ng isang pag-tessellation.

Larawan 6. Ang tri-hexagonal tessellation (3.6.3.6) ay isang halimbawa ng semi-regular na tessellation. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Halimbawa 5: Blunt hexagonal tessellation

Tulad ng tessellation sa nakaraang halimbawa, ang isang ito ay binubuo rin ng mga tatsulok at heksagon, ngunit ang kanilang pamamahagi sa paligid ng isang node ay 3.3.3.3.6. Malinaw na inilalarawan ng Figure 7 ang ganitong uri ng tessellation.

Larawan 7. Ang mapurol na hexagonal tessellation ay binubuo ng isang heksagon na napapalibutan ng 16 na tatsulok sa pagsasaayos ng 3.3.3.3.6. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Halimbawa 6: tessellation ng rhombi-tri-hexagonal

Ito ay isang tessellation na binubuo ng mga tatsulok, mga parisukat at hexagons, sa pagsasaayos ng 3.4.6.4, na ipinapakita sa figure 8.

Larawan 8. Semi-regular na tessellation na binubuo ng isang tatsulok, isang parisukat at isang heksagon sa pagsasaayos ng 3.4.6.4. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Mga hindi regular na tessellations

Ang mga hindi regular na tessellations ay ang mga nabuo ng hindi regular na mga polygons, o sa pamamagitan ng mga regular na polygons ngunit hindi nakakatugon sa criterion na ang isang node ay isang vertex ng hindi bababa sa tatlong polygons.

Halimbawa 7

Ang Figure 9 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng hindi regular na pag-i-tessellation, kung saan ang lahat ng mga polygons ay regular at congruent. Ito ay hindi regular dahil ang isang node ay hindi isang karaniwang pag-upo ng hindi bababa sa tatlong mga parisukat at mayroon ding mga kalapit na mga parisukat na hindi ganap na nagbabahagi.

Larawan 9. Kahit na ang lahat ng mga tile ay magkakaibang mga parisukat, ito ay isang malinaw na halimbawa ng hindi regular na tessellation. Pinagmulan: F. Zapata.

Halimbawa 8

Ang mga tile na paralelogram sa isang patag na ibabaw, ngunit maliban kung ito ay isang parisukat na ito ay hindi maaaring bumubuo ng isang regular na pag-i-tessellation.

Figure 10. Ang isang tessellation na nabuo ng mga paralelograms ay hindi regular, dahil ang mga mosaic nito ay hindi regular na polygons. Pinagmulan: F. Zapata.

Halimbawa 9

Ang mga di-regular na heksagon na may gitnang symmetry tessellate ng isang patag na ibabaw, tulad ng ipinakita sa sumusunod na pigura:

Larawan 11. Hexagons na may sentral na simetrya kahit na hindi sila regular na tessellate ang eroplano. Pinagmulan: F. Zapata.

Halimbawa 10: tessellation ng Cairo

Ito ay isang napaka-kagiliw-giliw na tessellation, na binubuo ng mga pentagon na may mga gilid ng pantay na haba ngunit may hindi pantay na mga anggulo, dalawa sa mga ito ay tuwid at ang iba pang tatlo ay may 120º bawat isa.

Ang pangalan nito ay nagmula sa katotohanan na ang tessellation na ito ay matatagpuan sa simento ng ilang mga kalye ng Cairo sa Egypt. Ipinapakita ng Figure 12 ang pag-tessellation ng Cairo.

Larawan 12. Pagsisiksik ng Cairo. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Halimbawa 11: Pag-iisa ng Al-Andalus

Ang tessellation sa ilang bahagi ng Andalusia at Hilagang Africa ay nailalarawan ng geometry at epigraphy, bilang karagdagan sa mga elemento ng pang-adorno tulad ng pananim.

Ang tessellation ng mga palasyo tulad ng Alhambra ay binubuo ng mga tile na binubuo ng mga keramik na piraso ng maraming mga kulay, na may maramihang (kung hindi walang hanggan) na mga hugis na nagpakawala sa mga geometric na pattern.

Larawan 13. Tessellation ng Palasyo ng Alhambra. Tartaglia / Pampublikong domain

Halimbawa 12: tessellation sa mga video game

Kilala rin bilang tesellation, ito ay isa sa mga pinakasikat na novelty sa mga video game. Ito ay tungkol sa paglikha ng mga texture upang gayahin ang tessellation ng iba't ibang mga sitwasyon na lumilitaw sa simulator.

Ito ay isang malinaw na pagmuni-muni na ang mga coatings na ito ay patuloy na nagbabago, na tumatawid sa mga hangganan ng katotohanan.

Mga Sanggunian

1. Masiyahan sa matematika. Mga Tessellations. Nabawi mula sa: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Ang mga halimbawa ng mga talento ay nalutas ang mga halimbawa. Nabawi mula sa: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Pag-ihi ng Demiregular." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Pananaliksik.
4. Wikipedia. Pagsisiksik. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regular na tessellation. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com