PAGBABAGO NG LAPLACE: KAHULUGAN, KASAYSAYAN AT KUNG ANO ITO PARA SA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay sa mga nakaraang taon na may kahalagahan sa mga pag-aaral sa engineering, matematika, pisika, bukod sa iba pang mga pang-agham na lugar, pati na rin ang pagiging mahusay na interes sa teorya, ay nagbibigay ng isang simpleng paraan upang malutas ang mga problema na nagmula sa agham at engineering.

Orihinal na ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay ipinakita ni Pierre-Simón Laplace sa kanyang pag-aaral sa probabilidad na teorya at sa una ay ginagamot bilang isang matematikal na object ng paunang teoretikal na interes.

Lumitaw ang kasalukuyang mga aplikasyon nang sinubukan ng iba't ibang mga matematiko na magbigay ng isang pormal na katwiran sa "mga patakaran sa pagpapatakbo" na ginamit ni Heaviside sa pag-aaral ng mga equation ng electromagnetic theory.

Kahulugan

Hayaan ang f ay isang function na tinukoy para sa t ≥ 0. Ang pagbago ng Laplace ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay sinasabing umiiral kung ang nakaraang integral ay nagkakabit, kung hindi man ang pagbabagong anyo ng Laplace ay sinasabing hindi umiiral.

Sa pangkalahatan, ang mga maliliit na titik ay ginagamit upang magpahiwatig ng pagpapaandar na mababago, at ang kapital na titik ay tumutugma sa pagbabago nito. Sa ganitong paraan magkakaroon tayo:

Mga halimbawa

Isaalang-alang ang palagiang pagpapaandar f (t) = 1. Mayroon kaming pagbabago na ito ay:

Tuwing ang integral ay nagpapatalo, iyon ay tuwing s> 0. Kung hindi man, s <0, ang integral na mga diverge.

Hayaan ang g (t) = t. Ang pagbabagong-anyo ng Laplace na ito ay ibinibigay ng

Sa pamamagitan ng pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi at pag-alam na ang te ^{-st ay may} posibilidad sa 0 kapag may kaugaliang kawalang-hanggan at s> 0, kasama ang nakaraang halimbawa na mayroon tayo:

Ang pagbabagong anyo ay maaaring o hindi umiiral, halimbawa para sa pagpapaandar f (t) = 1 / t ang integral na tumutukoy sa pagbabagong ito ng Laplace ay hindi nagkakabit at samakatuwid ang pagbabago nito ay hindi umiiral.

Ang mga sapat na kondisyon upang masiguro na ang Laplace na pagbabago ng isang function f ay umiiral na ang f ay tuloy-tuloy na tuloy-tuloy para sa t 0 at ito ay isang pagkakasunud-sunod ng pagkakasunud-sunod.

Ang isang pagpapaandar ay sinasabing tuloy-tuloy na tuloy-tuloy para sa t 0, kung para sa anumang agwat na may isang 0, mayroong isang hangganan na bilang ng mga puntos t _k, kung saan ang f ay may mga diskontento at tuluy-tuloy sa bawat subinterval.

Sa kabilang banda, ang isang pag-andar ay sinasabing exponential order c kung mayroong totoong constants M> 0, c at T> 0 na:

Tulad ng mga halimbawa na mayroon tayo na f (t) = t ² ay may exponential order, dahil -t ² - <e ^3t para sa lahat t> 0.

Sa isang pormal na paraan mayroon kaming sumusunod na teorema

Theorem (Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon)

Kung ang f ay isang bahagi na patuloy na pag-andar para sa t> 0 at ng exponential order c, kung gayon ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay umiiral para sa s> c.

Mahalagang tandaan na ito ay isang kondisyon ng sapat, iyon ay, maaaring mangyari na mayroong isang pag-andar na hindi nakakatugon sa mga kondisyong ito at kahit na ang pagbabagong ito ng Laplace ay umiiral.

Isang halimbawa nito ay ang pagpapaandar ng f (t) = t ^{-1/2 na} kung saan ay hindi tuloy-tuloy na tuloy-tuloy para sa t ≥ 0 ngunit umiiral ang pagbabagong anyo nito.

Pagbabago ng laplace ng ilang pangunahing mga pag-andar

Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapakita ng Laplace na mga pagbabago sa mga pinaka-karaniwang pag-andar.

Kasaysayan

Ang pagbago ng Laplace ay may utang sa pangalan nito kay Pierre-Simon Laplace, isang Pranses na matematiko at teoretikal na astronomo na isinilang noong 1749 at namatay noong 1827. Ang kanyang katanyagan ay tulad na siya ay kilala bilang Newton ng France.

Sa 1744 Leonard Euler ay nakatuon sa kanyang pag-aaral sa integral sa form

bilang mga solusyon ng mga ordinaryong equation na kaugalian, ngunit mabilis niyang tinalikuran ang pagsisiyasat na ito. Nang maglaon, si Joseph Louis Lagrange, na lubos na humanga kay Euler, ay sinisiyasat din ang mga ganitong uri ng integral at nauugnay ang mga ito sa teorya ng posibilidad.

1782, Laplace

Noong 1782, sinimulang pag-aralan ni Laplace ang mga integral na ito bilang mga solusyon sa pagkakaiba-iba ng mga equation at ayon sa mga istoryador, noong 1785 ay nagpasya siyang repormahin ang problema, na kalaunan ay nagbigay ng mga pagbabago sa Laplace na naiintindihan nila ngayon.

Ang pagkakaroon ng ipinakilala sa larangan ng probabilidad na teorya, hindi gaanong interes sa mga siyentipiko sa oras at nakita lamang ito bilang isang matematikal na bagay na tanging teoretikal na interes.

Oliver Heaviside

Ito ay sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo na natuklasan ng engineer ng Ingles na si Oliver Heaviside na ang mga operator ng kaugalian ay maaaring ituring bilang mga variable na algebraic, kaya binibigyan ng Laplace ang kanilang modernong aplikasyon.

Si Oliver Heaviside ay isang pisikong pisiko, Ingles na inhinyero at matematika na ipinanganak sa London noong 1850 at namatay noong 1925. Habang sinusubukan na lutasin ang mga problema sa equation ng pag-aaplay na inilapat sa teorya ng mga panginginig ng boses at paggamit ng mga pag-aaral ni Laplace, sinimulan niyang hubugin ang Ang mga modernong aplikasyon ng Laplace ay nagbabago.

Ang mga resulta na ipinakita ni Heaviside ay mabilis na kumalat sa buong komunidad ng syentipiko sa oras, ngunit dahil ang kanyang gawain ay hindi mahigpit, mabilis siyang pinuna ng mas tradisyunal na matematiko.

Gayunpaman, ang pagiging kapaki-pakinabang ng gawain ng Heaviside sa paglutas ng mga equation sa pisika ay naging tanyag sa kanyang mga pamamaraan sa mga pisika at inhinyero.

Sa kabila ng mga paglaho na ito at pagkatapos ng ilang mga dekada ng mga bigong pagtatangka, sa simula ng ika-20 siglo, isang mahigpit na katwiran ang maaaring ibigay sa mga patakaran sa pagpapatakbo na ibinigay ni Heaviside.

Ang mga pagsubok na ito ay nagbunga ng salamat sa mga pagsisikap ng iba't ibang mga matematiko tulad ng Bromwich, Carson, van der Pol, bukod sa iba pa.

Ari-arian

Kabilang sa mga pag-aari ng Laplace ibahin ang anyo, ang sumusunod ay tumatakbo:

Pagkakaisa

Hayaan ang c1 at c2 ay maging mga konstant at f (t) at g (t) na mga function na ang Laplace ay nagbabago ay F (s) at G (s) ayon sa pagkakabanggit, kung gayon mayroon tayong:

Dahil sa pag-aari na ito ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay sinasabing isang linear operator.

Halimbawa

Unang teorema sa pagsasalin

Kung nangyari ito:

At ang 'a' ay anumang tunay na numero, kaya:

Halimbawa

Dahil ang pagbago ng Laplace ng kos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) pagkatapos:

Pangalawang teorya ng pagsasalin

Oo

Kaya

Halimbawa

Kung f (t) = t ^ 3, pagkatapos ay F (s) = 6 / s ^ 4. At samakatuwid ang pagbabagong-anyo ng

ay G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Pagbabago ng scale

Oo

At ang 'a' ay isang nonzero real, kailangan nating

Halimbawa

Dahil ang pagbabago ng f (t) = kasalanan (t) ay F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) mayroon tayong

Ang pagbabagong-anyo ni Laplace ng derivatives

Kung ang f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ ay tuloy-tuloy para sa t and 0 at ng exponential order at f ⁽ⁿ⁾ (t) ay patuloy na tuloy-tuloy para sa t ≥ 0, kung gayon.

Pagbabago ng laplace ng mga integral

Oo

Kaya

Pagpaparami ng t

Kung mayroon tayo

Kaya

Dibisyon ni t

Kung mayroon tayo

Kaya

Mga function na pana-panahon

Hayaan ang f ay isang panaka-nakang pag-andar na may panahon T> 0, iyon ay f (t + T) = f (t), kung gayon

Pag-uugali ng F (s) bilang s ay may posibilidad na walang katapusan

Kung ang f ay tuloy-tuloy sa mga bahagi at ng exponential order at

Kaya

Mga salungat na pagbabago

Kapag inilalapat namin ang pagbabagong-anyo ng Laplace sa isang function f (t) nakakakuha kami ng F (s), na kumakatawan sa pagbabagong ito. Sa parehong paraan maaari nating sabihin na f (t) ang kabaligtaran ng Laplace na pagbabago ng F (s) at nakasulat bilang

Alam namin na ang Laplace ay nagbabago ng f (t) = 1 at g (t) = t ay F (s) = 1 / s at G (s) = 1 / s ² ayon sa pagkakabanggit, samakatuwid mayroon tayong

Ang ilang mga karaniwang baligtad na Laplace ay nagbabago ay ang mga sumusunod

Bukod dito, ang salungat na pagbabagong anyo ng Laplace ay magkatugma, iyon ay, totoo iyan

Mag-ehersisyo

Maghanap

Upang malutas ang ehersisyo na ito, dapat nating tumugma sa mga function na F (s) sa isa sa nakaraang talahanayan. Sa kasong ito kung kukuha tayo ng isang + 1 = 5 at ginagamit ang pag-aari ng pagkakaugnay ng kabaligtaran na pagbabagong-anyo, dumarami tayo at naghahati sa 4! Pagkuha

Para sa pangalawang kabaligtaran ibahin ang anyo inilalapat namin ang mga bahagyang mga praksiyon upang muling isulat ang function na (mga) F at pagkatapos ay ang pag-aari ng pagkakatugma, pagkuha

Tulad ng nakikita natin mula sa mga halimbawang ito, karaniwan na ang mga function na F (s) na nasuri ay hindi tiyak na sumasang-ayon sa alinman sa mga pagpapaandar na ibinigay sa talahanayan. Para sa mga kasong ito, tulad ng makikita, sapat na upang muling isulat ang pagpapaandar hanggang sa maabot ang naaangkop na form.

Ang mga aplikasyon ng Laplace ay nagbabago

Pagkakaiba-iba ng mga equation

Ang pangunahing aplikasyon ng mga pagbabago ng Laplace ay upang malutas ang mga equation ng kaugalian.

Ang paggamit ng pag-aari ng pagbabagong-anyo ng isang derivative ay malinaw na

Y ng n-1 derivatives na nasuri sa t = 0.

Ang pag-aari na ito ay ginagawang kapaki-pakinabang ang pagbabagong-anyo para sa paglutas ng mga paunang problema sa halaga kung saan ang mga pagkakahambing na mga equation na may pare-pareho na koepisyentidad ay kasangkot.

Ang mga sumusunod na halimbawa ay nagpapakita kung paano gamitin ang pagbabagong-anyo ng Laplace upang malutas ang mga equation na kaugalian.

Halimbawa 1

Ibinigay ang sumusunod na problema sa paunang halaga

Gamitin ang Laplace ibahin ang anyo upang mahanap ang solusyon.

Inilapat namin ang pagbabagong-anyo ng Laplace sa bawat miyembro ng equation na kaugalian

Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagbabagong-anyo ng isang hango na mayroon tayo

Sa pamamagitan ng pagbuo ng lahat ng pagpapahayag at paglilinis ng mga (mga) Y mayroon tayo

Paggamit ng bahagyang mga praksiyon upang muling isulat ang kanang bahagi ng equation na nakukuha natin

Sa wakas, ang aming layunin ay upang makahanap ng isang function y (t) na nasiyahan sa pagkakaiba-iba ng equation. Ang paggamit ng kabaligtaran na pagbabagong anyo ng Laplace ay nagbibigay sa amin ng resulta

Halimbawa 2

Lumutas

Tulad ng sa nakaraang kaso, inilalapat namin ang pagbabagong-anyo sa magkabilang panig ng equation at hiwalay na term sa pamamagitan ng term.

Sa ganitong paraan mayroon tayong bilang isang resulta

Pagsusulat sa ibinigay na mga paunang halaga at paglutas para sa mga (Y)

Gamit ang mga simpleng fraction maaari nating isulat muli ang equation tulad ng mga sumusunod

At ang paglalapat ng kabaligtaran na pagbabagong anyo ng Laplace ay nagbibigay sa amin ng resulta

Sa mga halimbawang ito, maaaring mali ang isa na magtapos na ang pamamaraang ito ay hindi mas mahusay kaysa sa tradisyonal na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng kaugalian.

Ang mga bentahe ng pagbabagong-anyo ng Laplace ay hindi mo na kailangang gumamit ng pagkakaiba-iba ng parameter o mag-alala tungkol sa iba't ibang mga kaso ng hindi tiyak na pamamaraan ng koepisyent.

Bilang karagdagan, kapag ang paglutas ng mga paunang problema sa halaga ng pamamaraang ito, mula sa simula ay ginagamit namin ang mga paunang kondisyon, kaya hindi kinakailangan na magsagawa ng iba pang mga kalkulasyon upang mahanap ang partikular na solusyon.

Mga system ng mga equation na kaugalian

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay maaari ding magamit upang makahanap ng mga solusyon sa sabay-sabay na mga karaniwang equation na kaugalian, tulad ng ipinapakita ng sumusunod na halimbawa.

Halimbawa

Lumutas

Sa paunang kondisyon x (0) = 8 at y (0) = 3.

Kung mayroon tayo

Kaya

Ang paglutas ay nagbibigay sa amin bilang isang resulta

At ang pag-aaplay ng kabaligtaran na pagbabagong anyo ay mayroon tayo

Mga mekanikal at elektrikal na circuit

Ang pagbabagong-anyo ng Laplace ay may kahalagahan sa pisika, higit sa lahat ay may mga aplikasyon para sa mga mekanika at mga de-koryenteng circuit.

Ang isang simpleng electrical circuit ay binubuo ng mga sumusunod na elemento

Isang switch, isang baterya o mapagkukunan, isang inductor, isang risistor, at isang kapasitor. Kapag ang switch ay sarado, isang de-koryenteng kasalukuyang ay ginawa na kung saan ay ipinapahiwatig ng i (t). Ang singil sa kapasitor ay ipinapahiwatig ng q (t).

Sa ikalawang batas ni Kirchhoff ang boltahe na ginawa ng mapagkukunan E sa saradong circuit ay dapat na katumbas ng kabuuan ng bawat patak ng boltahe.

Ang electric kasalukuyang i (t) ay nauugnay sa singil q (t) sa kapasitor ng i = dq / dt. Sa kabilang banda, ang pagbagsak ng boltahe sa bawat isa sa mga elemento ay tinukoy tulad ng sumusunod:

Ang pagbagsak ng boltahe sa isang risistor ay iR = R (dq / dt)

Ang pagbagsak ng boltahe sa isang inductor ay L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Ang pagbagsak ng boltahe sa isang kapasitor ay q / C

Sa pamamagitan ng mga datos na ito at nag-aaplay ng pangalawang batas ng Kirchhoff sa simpleng saradong circuit, nakuha ang isang pangalawang pagkakasunod-sunod na pagkakapareho ng pagkakahulugan na naglalarawan sa system at nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang halaga ng q (t).

Halimbawa

Ang isang inductor, isang capacitor, at isang risistor ay konektado sa isang baterya E, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang inductor ay 2 henry, ang capacitor ay 0.02 farads at ang resistensya ay 16 ohms. Sa oras t = 0 ang circuit ay sarado. Hanapin ang singil at ang kasalukuyang anumang oras t> 0 kung E = 300 volts.

Mayroon kaming na ang equation na kaugalian na naglalarawan sa circuit na ito ay ang sumusunod

Kung saan ang mga paunang kondisyon ay q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Ang paglalapat ng pagbago ng Laplace ay nakukuha natin iyon

At paglutas para sa Q (t)

Pagkatapos, ang pag-aaplay ng baligtad na Laplace transpormasyong mayroon kami

Mga Sanggunian

1. G. Holbrook, J. (1987). Nagbabago ang laplace para sa mga inhinyero ng elektronika. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Pagkakaiba-iba ng mga equation at Laplace na nagbabago sa mga application. Editoryal UPV.
3. Simmons, GF (1993). Pagkakaiba-iba ng mga equation sa mga application at mga tala sa kasaysayan. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Nagbabago ang laplace. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Mga pagkakaiba-iba ng mga equation na may mga problema sa hangganan. Mga Editor ng Learning Cengage, SA