DISCRETE FOURIER TRANSFORM: MGA KATANGIAN, APLIKASYON, MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang discrete na Fourier na pagbabagong anyo ay isang paraan na ginagamit upang tukuyin ang mga sample na tumutukoy sa mga dalas ng spectral na bumubuo ng isang senyas. Pinag-aaralan nito ang mga pana-panahong pag-andar sa mga saradong mga parameter, na nagbubunga ng ibang signal ng discrete bilang isang resulta.

Upang makuha ang discrete na Fourier na pagbabago ng mga puntos ng N, sa isang discrete signal, ang mga sumusunod na 2 kondisyon ay dapat na matugunan sa isang pagkakasunud-sunod x

TDF

Ang discrete na Fourier na pagbabago ay maaaring tukuyin bilang isang N-point sampling ng pagbabagong-anyo ng Fourier.

Pagbibigay kahulugan sa discrete na Fourier na nagbabago

Pinagmulan: Mga pexels

Mayroong 2 mga punto ng view mula sa kung saan ang mga resulta na nakuha sa isang pagkakasunud-sunod x _{s ay} maaaring ma-kahulugan sa pamamagitan ng discrete na Fourier na pagbabago.

-Ang una ay tumutugma sa mga parang multo coefficients, na kilala mula sa seryeng Fourier. Ito ay sinusunod sa mga hiwalay na pana-panahong signal, na may mga halimbawang magkakasabay sa pagkakasunud-sunod x _s .

-Ang pangalawang deal sa spectrum ng isang discrete aperiodic signal, na may mga sample na naaayon sa pagkakasunud-sunod x _s .

Ang discrete transform ay isang approximation sa spectrum ng orihinal na signal ng analog. Ang phase nito ay nakasalalay sa sampling instant, habang ang laki nito ay nakasalalay sa sampling interval.

Ari-arian

Ang mga algebraic na pundasyon ng istraktura ay bumubuo ng katwiran para sa mga sumusunod na seksyon.

Pagkakaisa

C. S _n → C. F; Kung ang isang pagkakasunud-sunod ay pinarami ng isang scalar, magiging pagbabago din ito.

T _n + V _n = F + F; Ang pagbabago ng isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagbabago.

Duwalidad

F → (1 / N) S _-k; Kung ang discrete na Fourier na pagbabago ay kinakalkula sa isang nabago na expression, ang parehong expression ay nakuha, na naka-scale sa N at invertise na may paggalang sa vertical axis.

Pagbubuo

Ang paghabol sa mga katulad na layunin tulad ng sa Laplace ay nagbabago, ang pagbubuo ng mga pagpapaandar ay tumutukoy sa produkto sa pagitan ng kanilang mga Fourier na mga pagbabago. Ang ebolusyon ay nalalapat din sa mga oras ng pagkakaugnay at may pananagutan sa maraming mga modernong pamamaraan.

X _n * R _n → F .F; Ang pagbabagong-anyo ng isang pagbubuo ay katumbas ng produkto ng mga pagbabagong-anyo.

X _n . R _n → F * F; Ang pagbabagong-anyo ng isang produkto ay pantay sa pagbubuo ng mga pagbabago.

Pagkalansad

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Kung ang isang pagkakasunud-sunod ay naantala ng mga halimbawa ng m, ang epekto nito sa discrete transform ay isang pagbabago ng anggulo na tinukoy ng (2π / N) km.

Kagamitan

X _t = X * _t = X _t

Modulasyon

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produkto

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Kagamitan

X ↔ X _t = X * _t

Magugulo

x * ↔ X * _t

Ang equation ng parseval

Kaugnay sa maginoo na ibinahagi ng Fourier ay mayroong maraming pagkakapareho at pagkakaiba. Ang Fourier na pagbabago ay nag-convert ng isang pagkakasunud-sunod sa isang solidong linya. Sa ganitong paraan sinasabing ang resulta ng variable na Fourier ay isang kumplikadong pag-andar ng isang tunay na variable.

Ang discrete na Fourier ay nagbabago, hindi katulad, ay tumatanggap ng isang discrete signal at binago ito sa ibang discrete signal, iyon ay, isang pagkakasunud-sunod.

Ano ang ipinagpapalit ng Fourier?

Nagsisilbi sila lalo na upang lubos na gawing simple ang mga equation, habang binabago ang mga hinihinalang expression sa mga elemento ng kapangyarihan. Ang pagtanggi ng mga expression na expression sa mga integrable na form na polynomial.

Sa pag-optimize, modyul at pagmomolde ng mga resulta, kumikilos ito bilang isang pamantayang expression, na isang madalas na mapagkukunan para sa engineering pagkatapos ng ilang mga henerasyon.

Pinagmulan: pixabay

Kasaysayan

Ang konseptong matematika na ito ay ipinakilala ni Joseph B. Fourier noong 1811, habang ang pagbuo ng isang treatise sa pagpapalaganap ng init. Ito ay mabilis na pinagtibay ng iba't ibang mga sanga ng agham at engineering.

Itinatag ito bilang pangunahing tool sa trabaho sa pag-aaral ng mga equation na may bahagyang derivatives, kahit na ihambing ito sa umiiral na relasyon sa trabaho sa pagitan ng pagbago ng Laplace at ordinaryong mga equation ng kaugalian.

Ang bawat pag-andar na maaaring magtrabaho sa isang pagbabagong-anyo ng Fourier ay dapat na ipakita nang walang labas sa isang tinukoy na parameter.

Discrete Fourier ibahin ang anyo at ang kabaligtaran nito

Ang discrete transform ay nakuha sa pamamagitan ng expression:

Matapos mabigyan ng isang hiwalay na pagkakasunud-sunod X

Ang kabaligtaran ng discrete na Fourier na pagbabago ay tinukoy sa pamamagitan ng expression:

Baliktarin ang PTO

Kapag nakamit ang discrete transform, pinapayagan nito ang pagtukoy sa pagkakasunud-sunod sa time X X.

Winged

Ang proseso ng parametrization na naaayon sa discrete na Fourier na anyo ay namamalagi sa windowing. Upang gumana ang pagbabagong-anyo dapat nating limitahan ang pagkakasunud-sunod sa oras. Sa maraming mga kaso ang mga signal na pinag-uusapan ay walang mga limitasyong ito.

Ang isang pagkakasunud-sunod na hindi nakakatugon sa laki ng pamantayan upang ilapat sa discrete transform ay maaaring maparami ng isang "window" function V, tinukoy ang pag-uugali ng pagkakasunod-sunod sa isang kinokontrol na parameter.

X. V

Ang lapad ng spectrum ay magiging depende sa lapad ng window. Habang tumataas ang lapad ng window, mas makitid ang kinakalkula na pagbabagong anyo.

Aplikasyon

Pagkalkula ng pangunahing solusyon

Ang discrete na Fourier na pagbabago ay isang malakas na tool sa pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng discrete.

Ang discrete na Fourier na pagbabago ay nagbabago ng isang patuloy na variable na pag-andar sa isang discrete variable transform.

Ang Cauchy na problema para sa equation ng init ay nagtatanghal ng isang madalas na larangan ng aplikasyon ng discrete na Fourier na pagbabago . Kung saan ang pangunahing pag-andar ng init o Dirichlet core ay nabuo, na nalalapat sa mga halimbawang halaga sa isang tinukoy na parameter.

Teorya ng senyales

Ang pangkalahatang dahilan para sa aplikasyon ng discrete na Fourier na pagbabago sa sangay na ito ay higit sa lahat dahil sa katangian ng agnas ng isang senyas bilang isang walang hanggan superposition ng mas madaling magagamot na mga signal.

Maaari itong maging isang tunog na alon o isang electromagnetic wave, ang discrete na Fourier na pagbabago ay ipinahayag ito sa isang superposition ng mga simpleng alon. Ang representasyong ito ay madalas sa elektrikal na engineering.

Ang seryeng Fourier

Ang mga ito ay serye na tinukoy sa mga tuntunin ng Cosines at Sines. Naghahatid sila upang mapadali ang trabaho na may pangkalahatang pana-panahong pag-andar. Kapag inilapat, ang mga ito ay bahagi ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ordinaryong at bahagyang kaugalian na mga equation.

Ang pang-apat na serye ay mas pangkalahatan kaysa sa serye ng Taylor, sapagkat sila ay nagkakaroon ng pana-panahong mga hindi nakapagpapatuloy na pag-andar na walang kinatawan ng serye ng serye.

Iba pang mga anyo ng serye ng Fourier

Upang maunawaan ang pagbabagong-anyo ng Fourier, mahalaga na suriin ang iba pang mga paraan kung saan matatagpuan ang seryeng Fourier, hanggang sa matukoy natin ang seryeng Fourier sa masalimuot na notasyon.

-Fourier serye sa isang function ng panahon 2L:

Ang pagitan ay isinasaalang-alang, na nag-aalok ng mga kalamangan kapag sinasamantala ang mga katangian ng simetriko ng mga pag-andar.

Kung ang f ay kahit na, ang serye ng Fourier ay itinatag bilang isang serye ng mga Cosines.

Kung ang f ay kakaiba, ang seryeng Fourier ay itinatag bilang isang serye ng mga Sines.

-Komplex notasyon ng seryeng Fourier

Kung mayroon kaming isang function f (t), na nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan ng serye ng Fourier, posible na maipahiwatig ito sa agwat gamit ang kumplikadong notasyon:

Mga halimbawa

Tungkol sa pagkalkula ng pangunahing solusyon, ang mga sumusunod na halimbawa ay ipinakita:

Sa kabilang banda, ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng application ng discrete na Fourier na nagbabago sa larangan ng signal theory:

-Mga problema sa pagkakakilanlan ng system. Itinatag ang f at g

-Problem na may pare-pareho ang signal ng output

-Problema na may pagsala ng signal

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Kalkulahin ang discrete na Fourier ibahin ang anyo para sa sumusunod na pagkakasunud-sunod.

Maaari mong tukuyin ang PTO ng x bilang:

X _t = {4, -j2, 0, j2} para sa k = 0, 1, 2, 3

Mag-ehersisyo 2

Nais naming matukoy ang parang multo signal na tinukoy ng expression x (t) = e ^{-t sa} pamamagitan ng isang digital algorithm . Kung saan ang pinakamataas na dalas ng paghiling ng koepisyent ay f _m = 1Hz. Ang isang harmonik ay tumutugma sa f = 0.3 Hz. Ang error ay limitado sa mas mababa sa 5%. Kalkulahin ang f _s , D at N.

Isinasaalang-alang ang sampling theorem f _s = 2f _m = 2 Hz

Ang isang dalas na paglutas ng f ₀ = 0.1 Hz ay pinili , kung saan nakuha namin ang D = 1 / 0.1 = 10s

Ang 0.3 Hz ay ​​ang dalas na katumbas ng index k = 3, kung saan ang N = 3 × 8 = 24 na mga halimbawa. Nagpapahiwatig na f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Dahil ang layunin ay upang makuha ang pinakamababang posibleng halaga para sa N, ang mga sumusunod na halaga ay maaaring isaalang-alang bilang isang solusyon:

f ₀ = 0.3 Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Mga Sanggunian

1. Mastering ang Discrete Fourier Transform sa Isa, Dalawa o Maraming Dimensyon: Mga Pitfalls at Artifact. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, Hulyo 19. 2013
2. Ang DFT: Isang Manwal ng May-ari para sa Discrete Fourier Transform. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, Enero 1. labing siyam na siyamnapu't lima
3. Pagproseso ng Digital Signal: Teorya at Pagsasanay. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Mga Pagbabago at Mabilis na Mga Algoritma para sa Pag-analisa ng Signal at Kinatawan. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, Dis 6. 2012
5. Discrete at Patuloy na Apat na Mga Pagbabago: Pagsusuri, Aplikasyon at Mabilis na Algorithms. Eleanor Chu. CRC Press, Mar 19. 2008