ISOSCELES TRAPEZOID: MGA KATANGIAN, RELASYON AT PORMULA, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang isosceles trapezoid ay isang quadrilateral kung saan ang dalawa sa mga panig ay magkatulad sa bawat isa at bilang karagdagan, ang dalawang mga anggulo na katabi ng isa sa mga magkakatulad na panig ay may parehong sukatan.

Sa figure 1 mayroon kaming quadrilateral ABCD, kung saan ang mga panig ng AD at BC ay magkatulad. Bilang karagdagan, ang mga anggulo ng ∠DAB at ∠ADC na katabi ng kahanay na bahagi ng AD ay may parehong sukat ng α.

Larawan 1. Mga trapezium ng Isosceles. Pinagmulan: F. Zapata.

Kaya ang quadrilateral na ito, o apat na panig na polygon, ay nasa isang isosceles trapezoid.

Sa isang trapezoid, ang mga magkatulad na panig ay tinatawag na mga batayan at ang hindi magkakatulad na panig ay tinatawag na mga lateral. Ang isa pang mahalagang katangian ay ang taas, na kung saan ang distansya na naghihiwalay sa mga magkakatulad na panig.

Bukod sa isosceles trapezoid mayroong iba pang mga uri ng trapezoid:

-T rapezoid scalene, na mayroong lahat ng mga anggulo at iba't ibang panig.

-Rectangular na rapezoid, kung saan ang isang panig ay may tamang katabing anggulo.

Ang hugis ng trapezoidal ay karaniwan sa iba't ibang larangan ng disenyo, arkitektura, elektronika, pagkalkula at marami pa, tulad ng makikita sa ibang pagkakataon. Samakatuwid ang kahalagahan ng pagiging pamilyar sa mga katangian nito.

Ari-arian

Eksklusibo sa isosceles trapezoid

Kung ang isang trapezoid ay isosceles pagkatapos ay mayroong mga sumusunod na katangian na katangian:

1.- Ang magkabilang panig ay may parehong pagsukat.

2.- Ang mga anggulo na katabi ng mga base ay pantay.

3.- Ang kabaligtaran ng mga anggulo ay pandagdag.

4.- Ang mga diagonal ay may parehong haba, ang dalawang mga segment na sumali sa kabaligtaran ng mga vertice ay pareho.

5.- Ang anggulo na nabuo sa pagitan ng mga batayan at mga diagonal ay lahat ng parehong sukatan.

6.- Ito ay may baluktot na kurbada.

Sa kabaligtaran, kung ang isang trapezoid ay nakakatugon sa alinman sa mga nabanggit na katangian, kung gayon ito ay isang trapezoid na isosceles.

Kung sa isang isosceles trapezoid ang isa sa mga anggulo ay tama (90º), kung gayon ang lahat ng iba pang mga anggulo ay magiging tama din, na bumubuo ng isang rektanggulo. Iyon ay, ang isang rektanggulo ay isang partikular na kaso ng isang isosceles trapezoid.

Larawan 2. Ang lalagyan ng popcorn at mga talahanayan ng paaralan ay hugis tulad ng isang trapezoid na isosceles. Pinagmulan: Pxfuel (kaliwa) / McDowell Craig sa pamamagitan ng Flickr. (tama)

Para sa lahat ng trapeze

Ang sumusunod na hanay ng mga katangian ay may bisa para sa anumang trapezoid:

7.- Ang median ng trapezoid, iyon ay, ang segment na sumali sa mga midpoints ng mga hindi magkakatulad na panig, ay kahanay sa alinman sa mga base.

8.- Ang haba ng panggitna ay katumbas ng semisum (kabuuan na hinati ng 2) ng mga batayan nito.

9.- Ang median ng isang trapezoid ay pinuputol ang mga diagonal sa midpoint.

10.- Ang mga dayagonal ng isang trapezoid intersect sa isang punto na naghahati sa kanila sa dalawang seksyon na proporsyonal sa mga quotients ng mga base.

11.- Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga panig nito kasama ang dobleng produkto ng mga batayan nito.

12.- Ang segment na sumali sa mga midpoints ng diagonals ay may haba na katumbas ng semi-pagkakaiba ng mga base.

13.- Ang mga anggulo na katabi ng mga panig ay pandagdag.

14.- Ang isang trapezoid ay may nakasulat na circumference kung at kung ang kabuuan lamang ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga panig nito.

15.- Kung ang isang trapezoid ay may isang nakasulat na circumference, kung gayon ang mga anggulo na may isang vertex sa gitna ng nasabing circumference at mga panig na dumadaan sa mga dulo ng magkabilang panig ay tamang mga anggulo.

Mga ugnayan at pormula

Ang mga sumusunod na hanay ng mga relasyon at mga formula ay tinutukoy sa figure 3, kung saan bilang karagdagan sa isosceles trapezoid, ang iba pang mahalagang mga segment na nabanggit na ay ipinapakita, tulad ng diagonals, taas at median.

Larawan 3. Median, dayagonal, taas, at circumscribed circumference sa isang isosceles trapezoid. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga natatanging ugnayan ng isosceles trapezium

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA at ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º at ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C at D ay nabibilang sa bilog na bilog.

Mga ugnayan para sa anumang trapeze

1. Kung AK = KB at DL = LC ⇒ KL - AD at KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 at DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC at DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º at ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Kung ang AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R kaysa sa pantay pantay mula sa AD, BC, AB at DC

15.- Kung ang ∃ R pantay-pantay mula AD, BC, AB at DC, kung gayon:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Pakikipag-ugnay para sa isosceles trapezium na may nakasulat na circumference

Kung sa isang isosceles trapezoid ang kabuuan ng mga base ay katumbas ng dalawang beses sa isang pag-ilid, kung gayon umiiral ang nakasulat na circumference.

Larawan 4. Trapezoid na may nakasulat na circumference. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang mga sumusunod na katangian ay nalalapat kapag ang isosceles trapezoid ay may nakasulat na circumference (tingnan ang figure 4 sa itaas):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Ang mga diagonal ay lumilitaw sa tamang mga anggulo: AC ⊥ BD

18.- Ang taas ay pareho ng median: HF = KL, iyon ay, h = m.

19.- Ang parisukat ng taas ay katumbas ng produkto ng mga base: h ² = BC⋅AD

20.- Sa ilalim ng mga tiyak na kundisyong ito, ang lugar ng trapezoid ay katumbas ng parisukat ng taas o produkto ng mga batayan: Area = h ² = BC⋅AD.

Mga formula para sa pagtukoy ng isang panig, alam ang iba at isang anggulo

Alam ang isang batayan, ang pag-ilid at isang anggulo, ang iba pang base ay maaaring matukoy ng:

isang = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Kung ang haba ng mga base at isang anggulo ay ibinibigay bilang kilalang data, kung gayon ang haba ng magkabilang panig ay:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Pagpapasya ng isang panig, alam ang iba at isang diagonal

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kung saan ang d ₁ ang haba ng mga diagonals.

Base mula sa taas, lugar at iba pang base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Kilalang lateral base, area at isang anggulo

c = (2A) /

Kilalang lateral median, lugar at anggulo

c = A / (m sin α)

Kilalang taas ang mga panig

h = √

Kilalang taas ng isang anggulo at dalawang panig

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. kasalanan α

Mga kilalang dayagonal sa lahat ng panig, o dalawang panig at isang anggulo

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (isang ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perimeter ng isosceles tatsulok

P = a + b + 2c

Isosceles trapezium area

Mayroong maraming mga formula para sa pagkalkula ng lugar, depende sa data na alam. Ang sumusunod ay ang pinakamahusay na kilala, depende sa mga base at taas:

A = h⋅ (a + b) / 2

At maaari mo ring gamitin ang mga ito:

-Kung kilala ang mga panig

A = √

-Kapag mayroon kang dalawang panig at isang anggulo

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Kung ang radius ng nakasulat na bilog at isang anggulo ay kilala

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kung ang mga batayan at anggulo ay kilala

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Kung ang trapezoid ay maaaring isulat ng isang circumference

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

Alamin ang mga dayagonal at ang anggulo na kanilang nabubuo sa bawat isa

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Kung mayroon kang pag-ilid, median at isang anggulo

A = mc.sen α = mc.sen β

Radius ng bilog na bilog

Tanging ang mga troszoid ng isosceles ay may isang laylayan na circumference. Kung ang mas malaking base a, ang pag-ilid c at ang diagonal d _{1 ay kilala} , kung gayon ang radius R ng bilog na dumaan sa apat na mga vertice ng trapezoid ay:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Kung saan p = (a + c + d ₁ ) / 2

Mga halimbawa ng paggamit ng isosceles trapezoid

Ang isosceles trapezoid ay lilitaw sa larangan ng disenyo, tulad ng nakikita sa Larawan 2. At narito ang ilang mga karagdagang halimbawa:

Sa arkitektura at konstruksyon

Alam ng sinaunang Incas ang isosceles trapezoid at ginamit ito bilang elemento ng gusali sa window na ito sa Cuzco, Peru:

Larawan 5. Trapezoidal window ng Coricancha, Cuzco. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

At dito lilitaw muli ang trapezoid sa tinatawag na trapezoidal sheet, isang materyal na madalas na ginagamit sa konstruksyon:

Larawan 6. Trapezoidal metal sheet pansamantalang pinoprotektahan ang mga bintana ng isang gusali. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Sa disenyo

Nakita na natin na ang isosceles trapezoid ay lilitaw sa araw-araw na mga bagay, kasama na ang mga pagkain tulad ng tsokolate bar na ito:

Larawan 7. Chocolate bar na ang mga mukha ay hugis tulad ng isang isosceles trapezoid. Pinagmulan: Pxfuel.

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Ang isang isosceles trapezoid ay may isang base na mas malaki kaysa sa 9 cm, isang base na mas mababa sa 3 cm, at ang mga dayagonal na 8 cm bawat isa. Kalkulahin:

a) Side

b) Taas

c) Perimeter

d) Lugar

Larawan 8. Scheme para sa ehersisyo 1. Pinagmulan: F. Zapata

Solusyon sa

Ang taas na CP = h ay naka-plot, kung saan ang paa ng taas ay tumutukoy sa mga segment:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Gamit ang teyema ng Pythagorean sa kanang tatsulok na DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

At din sa kanang tatsulok na APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Sa wakas, ang miyembro ng miyembro ay binawi, ang pangalawang equation mula sa una at pinasimple:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 cm

Solusyon b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29 cm

Solusyon c

Perimeter = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Solusyon d

Lugar = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 cm

- Ehersisyo 2

Mayroong isosceles trapezoid na ang mas malaking base ay dalawang beses sa mas maliit at ang mas maliit na base nito ay katumbas ng taas, na 6 cm. Magpasya:

a) Ang haba ng pag-ilid

b) Perimeter

c) Lugar

d) Mga anggulo

Larawan 8. Scheme para sa ehersisyo 2. Pinagmulan: F. Zapata

Solusyon sa

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 at h = b = 6

Nagpapatuloy kami tulad ng sumusunod: iginuhit namin ang taas h at inilapat ang teorema ng Pythagorean sa hypotenuse tatsulok «c» at mga binti h at x:

c ² = h ² + xc ²

Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang halaga ng taas mula sa data (h = b) at ng leg x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Pagsusulat ng mga nakaraang expression na mayroon kami:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Ngayon ay ipinakilala ang mga numerong halaga at pinasimple ito:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Pagkuha:

c = 3√5 = 6.71 cm

Solusyon b

Ang perimeter P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 cm

Solusyon c

Ang lugar bilang isang function ng taas at haba ng mga base ay:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Solusyon d

Ang anggulo α na ang mga lateral form na may mas malaking base ay nakuha ng trigonometrya:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

Ang iba pang anggulo, ang isa na bumubuo sa pag-ilid ng mas maliit na base ay β, na karagdagan sa α:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º

Mga Sanggunian

1. EA 2003. Mga Elemento ng geometry: na may mga ehersisyo at geometry ng compass. Unibersidad ng Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Napalaya, K. 2007. Tuklasin ang mga Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Mga Pangkalahatang Polygon. Birkhäuser.
5. IGER. Matematika Unang Semester Tacaná. IGER.
6. Geometry ng Jr. 2014. Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. 2006. Matematika: Nangangatuwiran At Aplikasyon. Ika-10. Edisyon. Edukasyon sa Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Editoryal ng Progreso.
9. Wikipedia. Trapeze. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com