SCALENE TATSULOK: MGA KATANGIAN, FORMULA AT LUGAR, PAGKALKULA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang scalene tatsulok ay isang polygon na may tatlong panig, na ang lahat ay may iba't ibang mga panukala o haba; para sa kadahilanang ito ay ibinigay ang pangalan ng scalene, na sa Latin ay nangangahulugang pag-akyat.

Ang mga tatsulok ay ang mga polygons na itinuturing na pinakasimpleng sa geometry, sapagkat ang mga ito ay binubuo ng tatlong panig, tatlong anggulo, at tatlong mga vertice. Sa kaso ng tatsulok na scalene, dahil ang lahat ng mga panig ay magkakaiba, ipinapahiwatig nito na ang tatlong anggulo nito ay magiging din.

Mga katangian ng scalene tatsulok

Ang mga tatsulok na scalene ay mga simpleng polygons sapagkat wala sa kanilang mga panig o anggulo ang may parehong sukat, hindi katulad ng mga isoscel at mga equilateral triangles.

Sapagkat ang lahat ng kanilang mga panig at anggulo ay may iba't ibang mga hakbang, ang mga tatsulok na ito ay itinuturing na hindi regular na mga polygons convex.

Batay sa malawak ng mga panloob na anggulo, ang mga tatsulok na scalene ay inuri bilang:

• Scalene kanang tatsulok : magkakaiba ang lahat ng panig. Ang isa sa mga anggulo nito ay tama (90 ^o ) at ang iba ay matalim at may iba't ibang mga hakbang.
• Maling scalene tatsulok : ang lahat ng mga panig ay magkakaiba at ang isa sa mga anggulo nito ay makuha (> 90 ^o ).
• Scalene acute tatsulok : magkakaiba ang lahat ng panig. Ang lahat ng mga anggulo ay talamak (<90 ^o ) na may iba't ibang mga hakbang.

Ang isa pang katangian ng scalene tatsulok ay dahil sa hindi pagkakapareho ng kanilang mga panig at anggulo, wala silang isang axis ng simetrya.

Mga Bahagi

Ang median : ito ay isang linya na nagsisimula mula sa kalagitnaan ng isang gilid at naabot ang kabaligtaran ng pag-asa. Ang tatlong median ay nakakatugon sa isang punto na tinatawag na barycenter o centroid.

Ang bisector : ito ay isang sinag na naghahati sa bawat anggulo sa dalawang anggulo ng pantay na panukala. Ang mga bisectors ng isang tatsulok ay nakakatugon sa isang puntong tinatawag na incenter.

Ang bisector : ito ay isang segment na patayo sa gilid ng tatsulok, na nagmula sa gitna nito. Mayroong tatlong mga bisectors sa isang tatsulok at nagkita sila sa isang puntong tinatawag na circumcenter.

Ang taas : ito ay ang linya na umaalis mula sa tuktok sa gilid na kabaligtaran at din ang linya na ito ay patayo sa panig na iyon. Ang lahat ng mga tatsulok ay may tatlong taas na nag-tutugma sa isang puntong tinatawag na orthocenter.

Ari-arian

Ang mga tatsulok na scalene ay tinukoy o kinilala dahil mayroon silang maraming mga katangian na kumakatawan sa kanila, na nagmula sa mga theorems na iminungkahi ng mahusay na mga matematiko. Sila ay:

Panloob na mga anggulo

Ang kabuuan ng mga anggulo ng interior ay palaging katumbas ng 180 ^° .

Kabuuan ng mga panig

Ang kabuuan ng mga panukala ng dalawang panig ay dapat palaging mas malaki kaysa sa sukat ng ikatlong panig, a + b> c.

Mga hindi kilalang panig

Ang lahat ng mga panig ng scalene tatsulok ay may iba't ibang mga panukala o haba; iyon ay, hindi sila incongruous.

Mga nakikitang anggulo

Dahil ang lahat ng mga panig ng scalene tatsulok ay magkakaiba, ang mga anggulo nito ay magiging din. Gayunpaman, ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ay palaging magiging pantay sa 180º, at sa ilang mga kaso, ang isa sa mga anggulo nito ay maaaring maging mali o tama, habang sa iba pa lahat ng mga anggulo nito ay magiging talamak.

Taas, median, bisector, at bisector ay hindi nagkataon

Tulad ng anumang tatsulok, ang scalene ay may iba't ibang mga segment ng linya na bumubuo nito, tulad ng: taas, median, bisector at bisector.

Dahil sa pagiging partikular ng mga panig nito, sa ganitong uri ng tatsulok wala sa mga linyang ito ang magkakasabay sa isa.

Ang Orthocenter, barycenter, incenter at circumcenter ay hindi sinasadya

Bilang ang taas, median, bisector at bisector ay kinakatawan ng iba't ibang mga segment ng linya, sa isang scalene triangle ang mga puntos ng pagpupulong - ang orthocenter, incenter at ang circumcenter - ay matatagpuan sa iba't ibang mga puntos (hindi sila nagkakasabay).

Depende sa kung ang tatsulok ay talamak, tama, o scalene, ang orthocenter ay may iba't ibang lokasyon:

sa. Kung ang tatsulok ay talamak, ang orthocenter ay nasa loob ng tatsulok.

b. Kung ang tatsulok ay tama, ang orthocenter ay magkakasabay sa vertex ng kanang bahagi.

c. Kung makuha ang tatsulok, ang orthocenter ay nasa labas ng tatsulok.

Mga kamag-anak na taas

Ang taas ay may kaugnayan sa mga panig.

Sa kaso ng tatsulok na scalene, ang mga taas na ito ay magkakaroon ng iba't ibang mga sukat. Ang bawat tatsulok ay may tatlong kamag-anak na taas at ang formula ni Heron ay ginagamit upang makalkula ang mga ito.

Paano makalkula ang perimeter?

Ang perimeter ng isang polygon ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga panig.

Dahil sa kasong ito ang tatsulok ng scalene ay may lahat ng mga panig nito na may iba't ibang mga panukala, ang perimeter nito ay:

P = gilid ng isang + bahagi b + side c.

Paano makalkula ang lugar?

Ang lugar ng mga tatsulok ay palaging kinakalkula na may parehong pormula, na pinararami ang taas ng base ng oras at paghahati ng dalawa:

Lugar = (base _* h) ÷ 2

Sa ilang mga kaso ang taas ng scalene tatsulok ay hindi kilala, ngunit mayroong isang pormula na iminungkahi ng matematika na Herón, upang makalkula ang lugar na nalalaman ang sukat ng tatlong panig ng isang tatsulok.

Kung saan:

• a, b at c, ay kumakatawan sa mga panig ng tatsulok.
• sp, ay tumutugma sa semiperimeter ng tatsulok, iyon ay, kalahati ng perimeter:

sp = (isang + b + c) ÷ 2

Sa kaso na mayroon lamang tayong sukatan ng dalawa sa mga gilid ng tatsulok at ang anggulo na nabuo sa pagitan nila, ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pag-apply ng trigonometric ratios. Kaya kailangan mong:

Lugar = (gilid _* h) ÷ 2

Kung saan ang taas (h) ay produkto ng isang panig at ang sine ng kabaligtaran na anggulo. Halimbawa, para sa bawat panig, ang lugar ay:

• Lugar = (b _* c _* kasalanan A) ÷ 2
• Lugar = (a _* c _* kasalanan B) ÷ 2.
• Lugar = (a _* b _* kasalanan C) ÷ 2

Paano makalkula ang taas?

Dahil ang lahat ng mga panig ng scalene tatsulok ay magkakaiba, hindi posible na makalkula ang taas na may teyorya ng Pythagorean.

Mula sa pormula ni Heron, na batay sa mga sukat ng tatlong panig ng isang tatsulok, ang lugar ay maaaring kalkulahin.

Taas ay maaaring mai-clear mula sa pangkalahatang pormula ng lugar:

Ang panig ay pinalitan ng sukat ng panig a, b, o c.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang taas kapag ang halaga ng isa sa mga anggulo ay kilala, ay sa pamamagitan ng pag-aaplay ng trigonometric ratios, kung saan ang taas ay kumakatawan sa isang leg ng tatsulok.

Halimbawa, kapag ang anggulo sa tapat ng taas ay kilala, matutukoy ito ng sine:

Paano makalkula ang mga panig?

Kapag mayroon ka ng sukat ng dalawang panig at ang anggulo sa tapat ng mga ito, posible na matukoy ang pangatlong bahagi sa pamamagitan ng pag-apply ng kosine theorem.

Halimbawa, sa isang tatsulok na AB, ang taas na may kaugnayan sa segment AC ay naka-plot. Sa ganitong paraan ang tatsulok ay nahahati sa dalawang kanang tatsulok.

Upang makalkula ang side c (segment AB), ilapat ang teyema ng Pythagorean para sa bawat tatsulok:

• Para sa asul na tatsulok mayroon kami:

c ² = h ² + m ²

Dahil m = b - n, kapalit namin:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Para sa pink na tatsulok kailangan mong:

h ² = a ² - n ²

Ito ay nahalili sa nakaraang equation:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Alam na n = a _* cos C, ito ay nahalili sa nakaraang equation at ang halaga ng side c ay nakuha:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* kos C.

Sa pamamagitan ng Batas ng Cosines, ang mga panig ay maaaring kalkulahin bilang:

• isang ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* kos C.

Mayroong mga kaso kung saan hindi alam ang mga sukat ng mga gilid ng tatsulok, ngunit sa halip ang kanilang taas at ang mga anggulo na nabuo sa mga vertice. Upang matukoy ang lugar sa mga kasong ito kinakailangan na mag-aplay ng trigonometriko ratios.

Alam ang anggulo ng isa sa mga vertices nito, ang mga binti ay nakikilala at ang kaukulang ratio ng trigonometric ay ginagamit:

Halimbawa, ang binti AB ay kabaligtaran para sa anggulo C, ngunit katabi sa anggulo A. Depende sa gilid o binti na naaayon sa taas, ang iba pang bahagi ay na-clear upang makuha ang halaga nito.

Pagsasanay

Unang ehersisyo

Kalkulahin ang lugar at isang taas ng scalene tatsulok na ABC, alam na ang mga panig nito ay:

isang = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Solusyon

Bilang data, ang mga sukat ng tatlong panig ng scalene tatsulok ay ibinibigay.

Dahil hindi magagamit ang halaga ng taas, ang lugar ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng paglalapat ng pormula ni Heron.

Una ang semiperimeter ay kinakalkula:

sp = (isang + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Ngayon ang mga halaga ay nahalili sa pormula ni Heron:

Alam ang lugar, ang taas na may kaugnayan sa panig b ay maaaring kalkulahin. Mula sa pangkalahatang pormula, pag-clear nito, mayroon kami:

Lugar = (gilid _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46.47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92.94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7.75 cm.

Pangalawang ehersisyo

Ibinigay ang scalene tatsulok ABC, na ang mga hakbang ay:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Sa vertex B isang anggulo ng 50º ay nabuo. Kalkulahin ang taas na kamag-anak sa gilid c, perimeter at lugar ng tatsulok na iyon.

Solusyon

Sa kasong ito mayroon kaming mga sukat ng dalawang panig. Upang matukoy ang taas kinakailangan upang makalkula ang pagsukat ng ikatlong panig.

Dahil ang anggulo sa tapat ng mga naibigay na panig ay ibinibigay, posible na mag-aplay ng batas ng mga cosine upang matukoy ang sukatan ng side AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kung saan:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Ang data ay napalitan:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19.18 m.

Dahil mayroon na tayong halaga ng tatlong panig, ang perimeter ng tatsulok na iyon ay kinakalkula:

P = gilid ng isang + bahagi b + side c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59.18 m

Ngayon posible upang matukoy ang lugar sa pamamagitan ng paglalapat ng pormula ni Heron, ngunit unang dapat kalkulahin ang semiperimeter:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 m ÷ 2

sp = 29.59 m.

Ang mga sukat ng mga gilid at semiperimeter ay nahalili sa pormula ni Heron:

Sa wakas alam ang lugar, ang taas na may kaugnayan sa gilid c ay maaaring kalkulahin. Mula sa pangkalahatang pormula, pag-clear nito kailangan mong:

Lugar = (gilid _* h) ÷ 2

143.63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143.63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287.3 m ² ÷ 25 m

h = 11.5 m.

Pangatlong ehersisyo

Sa scalene tatsulok na ABC side b ay 40 cm, ang gilid c ay 22 cm, at ang tuktok ng A, isang anggulo 90 ay nabuo ^o . Kalkulahin ang lugar ng tatsulok na iyon.

Solusyon

Sa kasong ito, ang mga panukala ng dalawang panig ng scalene tatsulok na ABC ay ibinibigay, pati na rin ang anggulo na nabuo sa vertex A.

Upang matukoy ang lugar, hindi kinakailangan upang makalkula ang sukatan ng panig a, dahil sa pamamagitan ng mga trigonometrikong ratios ang anggulo ay ginamit upang hanapin ito.

Dahil ang anggulo sa tapat ng taas ay kilala, matutukoy ito ng produkto ng isang panig at ang sine ng anggulo.

Pagsusulat sa formula ng lugar na mayroon kami:

• Lugar = (gilid _* h) ÷ 2
• h = c _* kasalanan A

Lugar = (b _* c _* kasalanan A) ÷ 2

Lugar = (40 cm _* 22 cm _* kasalanan 90) ÷ 2

Lugar = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Lugar = 880 cm ² ÷ 2

Lugar = 440 cm ² .

Mga Sanggunian

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknikal na Pagguhit: notebook ng aktibidad.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Mga geometries. Ang teknolohiya ng CR,.
3. Anghel, AR (2007). Elementong Algebra. Edukasyon sa Pearson ,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Barbosa, JL (2006). Plano Euclidean Geometry. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Mga Batayan ng Geometry. Mexico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elemento ng Elemento para sa Mga Estudyante ng Kolehiyo. Pag-aaral ng Cengage.
8. Harpe, P. d. (2000). Mga Paksa sa Teorya ng Geometric Group. Pamantasan ng Chicago Press.