TATSULOK NG ISOSCELES: MGA KATANGIAN, PORMULA AT LUGAR, PAGKALKULA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang isosceles tatsulok ay isang polygon na may tatlong panig, kung saan ang dalawa sa kanila ay may parehong sukatan at sa ikatlong bahagi ng isang magkakaibang panukala. Ang huling panig na ito ay tinatawag na base. Dahil sa katangian na ito ay ibinigay ang pangalang ito, na sa Greek ay nangangahulugang "pantay na binti"

Ang mga tatsulok ay ang mga polygons na itinuturing na pinakasimpleng sa geometry, sapagkat ang mga ito ay binubuo ng tatlong panig, tatlong anggulo, at tatlong mga vertice. Sila ang mga may hindi bababa sa bilang ng mga panig at anggulo na may paggalang sa iba pang mga polygons, gayunpaman ang kanilang paggamit ay napakalawak.

Mga katangian ng mga tatsulok ng isosceles

Ang isosceles tatsulok ay inuri gamit ang sukat ng mga panig nito bilang isang parameter, dahil ang dalawa sa mga panig nito ay magkatulad (mayroon silang parehong haba).

Batay sa malawak ng mga anggulo ng interior, ang mga triangles isosceles ay inuri bilang:

• Mahusay na tatsulok ng Isosceles : dalawa sa mga panig nito ay pantay-pantay. Isang sulok ay tuwid (90 ^o ) at ang iba ay ang parehong (45 ^o bawat isa)
• Ang mga Isosceles ay nakakakuha ng tatsulok : dalawa sa mga panig nito ay pantay. Ang isa sa mga anggulo ay makuha (> 90 ^o ).
• Talamak na tatsulok ng Isosceles : dalawa sa mga panig nito ay pantay-pantay. Ang lahat ng mga anggulo ay talamak (<90 ^o ) kung saan ang parehong may parehong sukatan.

Mga Bahagi

• Ang median : ito ay isang linya na nagsisimula mula sa kalagitnaan ng isang gilid at naabot ang kabaligtaran ng pag-asa. Ang tatlong median ay nakakatugon sa isang punto na tinatawag na barycenter o centroid.
• Ang bisector : ito ay isang sinag na naghahati sa anggulo ng bawat tuktok sa dalawang anggulo ng pantay na panukala. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay kilala bilang ang axis ng symmetry at ang ganitong uri ng tatsulok ay may isa lamang.
• Ang bisector : ito ay isang segment na patayo sa gilid ng tatsulok, na nagmula sa gitna nito. Mayroong tatlong mga mediatices sa isang tatsulok at nagkita sila sa isang puntong tinatawag na circumcenter.
• Ang taas : ito ay ang linya na umaalis mula sa tuktok sa gilid na kabaligtaran at din ang linya na ito ay patayo sa panig na iyon. Ang lahat ng mga tatsulok ay may tatlong taas, na nag-tutugma sa isang puntong tinatawag na orthocenter.

Ari-arian

Ang mga tatsulok ng Isosceles ay tinukoy o kinilala dahil mayroon silang maraming mga pag-aari na kumakatawan sa kanila, na nagmula sa mga theorems na iminungkahi ng mahusay na mga matematiko:

Panloob na mga anggulo

Ang kabuuan ng mga anggulo ng interior ay palaging katumbas ng 180 ^° .

Kabuuan ng mga panig

Ang kabuuan ng mga panukala ng dalawang panig ay dapat palaging mas malaki kaysa sa sukat ng ikatlong panig, a + b> c.

Mga magkabilang panig

Ang mga triangles ng Isoscel ay may dalawang panig na may parehong sukatan o haba; iyon ay, sila ay congruent at ang ikatlong panig ay naiiba sa mga ito.

Mga pagbati sa mga anggulo

Ang mga tatsulok ng Isosceles ay kilala rin bilang mga hugis-parihaba na mga tatsulok, dahil mayroon silang dalawang mga anggulo na magkatulad na panukala (congruent). Ang mga ito ay matatagpuan sa base ng tatsulok, kabaligtaran sa mga panig na magkapareho ang haba.

Dahil dito, nabuo ang teorama na nagsasaad na:

"Kung ang isang tatsulok ay may dalawang magkabilang panig, ang mga anggulo sa tapat ng mga panig ay magkakaroon din ng congruent." Samakatuwid, kung ang isang tatsulok ay isosceles ang mga anggulo ng mga batayan nito ay kasabwat.

Halimbawa:

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng isang tatsulok na ABC. Sa pamamagitan ng pagguhit ng bisector nito mula sa tuktok ng anggulo B hanggang sa base, ang tatsulok ay nahahati sa dalawang pantay na tatsulok na BDA at BDC:

Sa ganitong paraan ang anggulo ng vertex B ay nahahati din sa dalawang pantay na anggulo. Ang bisector ngayon ay pangkaraniwang panig (BD) sa pagitan ng dalawang bagong tatsulok, habang ang mga gilid ng AB at BC ay ang mga magkabilang panig. Sa gayon mayroon kaming kaso ng panig, anggulo, tagiliran (LAL).

Ipinapakita nito na ang mga anggulo ng mga vertice A at C ay may parehong sukatan, pati na rin maaari itong maipakita na dahil ang mga tatsulok na BDA at BDC ay magkasama, ang mga panig ng AD at DC ay magkapareho rin.

Taas, median, bisector, at bisector ay magkasabay

Ang linya na iguguhit mula sa tuktok sa tapat ng base hanggang sa kalagitnaan ng base ng anggulo ng isosceles, ay kasabay ng taas, median at bisector, pati na rin ang bisector na may kaugnayan sa kabaligtaran na anggulo ng base.

Ang lahat ng mga segment na ito ay nag-tutugma sa isa na kumakatawan sa kanila.

Halimbawa:

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng tatsulok na ABC na may isang midpoint M na naghahati sa base sa dalawang mga segment ng BM at CM.

Sa pamamagitan ng pagguhit ng isang segment mula sa point M hanggang sa kabaligtaran ng vertex, sa pamamagitan ng kahulugan ang nakuha ng median AM, na nauugnay sa vertex A at side BC.

Habang ang dibisyon ng AM ay naghahati ng tatsulok na ABC sa dalawang pantay na tatsulok na AMB at AMC, nangangahulugan ito na ang kaso ng congruence side, anggulo, gilid ay magkakaroon at samakatuwid ang AM ay magiging bisector din ng BÂC.

Samakatuwid, ang bisector ay palaging magiging pantay sa median at kabaligtaran.

Ang mga Segment AM ay bumubuo ng mga anggulo na may parehong sukat para sa mga tatsulok na AMB at AMC; iyon ay, sila ay pandagdag sa paraang ang sukatan ng bawat isa ay:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^o

2 _* Med. (AMC) = 180 ^o

Med. (AMC) = 180 ^o ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^o

Malalaman na ang mga anggulo na nabuo ng segment ng AM na may paggalang sa base ng tatsulok ay tama, na nagpapahiwatig na ang segment na ito ay ganap na patayo sa base.

Samakatuwid ito ay kumakatawan sa taas at bisector, alam na ang M ang kalagitnaan.

Samakatuwid ang linya AM:

• Mga kinatawan sa taas ng BC.
• Ay medium medium.
• Ito ay nakapaloob sa loob ng bisector ng BC.
• Ito ang bisector ng anggulo ng vertex

Mga kamag-anak na taas

Ang mga taas na may kaugnayan sa pantay na panig ay may parehong sukat din.

Dahil ang tatsulok ng isosceles ay may dalawang pantay na panig, ang kanilang magkatulad na taas ay magkatulad din.

Ortocenter, barycenter, incenter, at coincident circumcenter

Tulad ng taas, median, bisector at bisector na may kaugnayan sa base, ay kinakatawan sa parehong oras sa pamamagitan ng parehong segment, ang orthocenter, center barycenter at circumcenter ay magiging mga puntos na kolonya, iyon ay, sila ay magkatulad na linya:

Paano makalkula ang perimeter?

Ang perimeter ng isang polygon ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga panig.

Tulad ng sa kasong ito ang tatsulok ng isosceles ay may dalawang panig na may parehong sukatan, ang perimeter nito ay kinakalkula gamit ang sumusunod na pormula:

P = 2 _* (gilid a) + (gilid b).

Paano makalkula ang taas?

Ang taas ay ang linya na patayo sa base, hinati nito ang tatsulok sa dalawang pantay na mga bahagi habang umaabot ito sa kabaligtaran ng vertex.

Ang taas ay kumakatawan sa kabaligtaran binti (a), sa gitna ng base (b / 2) sa katabing binti at sa gilid na "a" ay kumakatawan sa hypotenuse.

Gamit ang teyem ng Pythagorean, ang halaga ng taas ay maaaring matukoy:

isang ² + b ² = c ²

Kung saan:

isang ² = taas (h).

b ² = b / 2.

c ² = panig a.

Pagsusulat ng mga halagang ito sa teorema ng Pythagorean, at paglutas ng taas, mayroon kami:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = a ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Kung ang anggulo na nabuo ng mga kilalang panig ay kilala, ang taas ay maaaring kalkulahin sa mga sumusunod na formula:

Paano makalkula ang lugar?

Ang lugar ng mga tatsulok ay palaging kinakalkula na may parehong formula, pagpaparami ng base sa pamamagitan ng taas at paghahati ng dalawa:

May mga kaso kung saan ang mga sukat lamang ng dalawang panig ng tatsulok at ang anggulo na nabuo sa pagitan ng mga ito ay kilala. Sa kasong ito, upang matukoy ang lugar na kinakailangan upang mag-apply ng trigonometriko ratios:

Paano makalkula ang base ng tatsulok?

Dahil ang tatsulok ng isosceles ay may dalawang pantay na panig, upang matukoy ang halaga ng base nito na kailangan mong malaman ng hindi bababa sa sukat ng taas o isa sa mga anggulo nito.

Alam ang taas, ginamit ang teorema ng Pythagorean:

isang ² + b ² = c ²

Kung saan:

isang ² = taas (h).

c ² = panig a.

b ² = b / 2, ay hindi kilala.

Inihiwalay namin ang b ² mula sa pormula at mayroon kami:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Dahil ang halagang ito ay tumutugma sa kalahati ng base, dapat itong dumami ng dalawa upang makuha ang kumpletong sukatan ng base ng isosceles tatsulok:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

Sa kaso na ang halaga lamang ng magkaparehong panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, ang trigonometrya ay inilalapat, pagguhit ng isang linya mula sa tuktok hanggang sa base na naghahati sa isosceles tatsulok sa dalawang kanang mga tatsulok.

Sa ganitong paraan kalahati ng base ay kinakalkula sa:

Posible rin na ang halaga lamang ng taas at anggulo ng vertex na kabaligtaran sa base ang nalalaman. Sa kasong iyon, sa pamamagitan ng trigonometrya ang batayan ay maaaring matukoy:

Pagsasanay

Unang ehersisyo

Hanapin ang lugar ng isosceles tatsulok na ABC, alam na ang dalawa sa mga panig nito ay 10 cm at ang ikatlong bahagi ay 12 cm.

Solusyon

Upang mahanap ang lugar ng tatsulok, kinakailangan upang kalkulahin ang taas gamit ang formula ng lugar na nauugnay sa teyorya ng Pythagorean, dahil ang halaga ng anggulo na nabuo sa pagitan ng pantay na panig ay hindi alam.

Mayroon kaming mga sumusunod na data ng tatsulok ng isosceles:

• Mga pantay na panig (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

Ang mga halaga ay nahalili sa pormula:

Pangalawang ehersisyo

Ang haba ng dalawang pantay na panig ng isang isosceles tatsulok ay 42 cm, ang unyon ng mga panig na ito ay bumubuo ng isang anggulo ng 130 ^o . Alamin ang halaga ng ikatlong bahagi, ang lugar ng tatsulok na iyon, at ang perimeter.

Solusyon

Sa kasong ito, ang mga sukat ng mga panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala.

Upang malaman ang halaga ng nawawalang panig, iyon ay, ang batayan ng tatsulok na iyon, isang linya na patayo dito ay iginuhit, na naghahati sa anggulo sa dalawang pantay na bahagi, isa para sa bawat kanang tatsulok na nabuo.

• Mga pantay na panig (a) = 42 cm.
• Angle (Ɵ) = 130 ^o

Ngayon sa pamamagitan ng trigonometrya ang halaga ng kalahati ng base ay kinakalkula, na tumutugma sa kalahati ng hypotenuse:

Upang makalkula ang lugar, kinakailangan na malaman ang taas ng tatsulok na iyon, na maaaring kalkulahin ng trigonometrya o ng teorema ng Pythagorean, ngayon na natukoy na ang halaga ng base.

Sa pamamagitan ng trigonometrya ito ay magiging:

Ang perimeter ay kinakalkula:

P = 2 _* (gilid a) + (gilid b).

P = 2 _* (42cm) + (76cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Pangatlong ehersisyo

Kalkulahin ang mga panloob na anggulo ng tatsulok ng isosceles, alam na ang anggulo ng base ay  = 55 ^o

Solusyon

Upang mahanap ang dalawang nawawalang anggulo (Ê at Ô) kinakailangan na tandaan ang dalawang katangian ng mga tatsulok:

• Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng bawat tatsulok ay palaging magiging = 180 ^o :

 + Ê + Ô = 180 ^o

• Sa isang anggulo ng isosceles ang mga anggulo ng base ay palaging magkakasama, samakatuwid nga, mayroon silang parehong sukatan, samakatuwid:

 = Ô

Ê = 55 ^o

Upang matukoy ang halaga ng anggulo Ê, pinalitan namin ang mga halaga ng iba pang mga anggulo sa unang panuntunan at malutas para sa:

55 ^o + 55 ^o + Ô = 180 ^o

110 ^o + Ô = 180 ^o

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Mga Sanggunian

1. Álvarez, E. (2003). Mga Elemento ng geometry: na may maraming ehersisyo at geometry ng compass. Unibersidad ng Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknikal na Pagguhit: notebook ng aktibidad.
3. Anghel, AR (2007). Elementong Algebra. Edukasyon sa Pearson.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2.
7. Tuma, J. (1998). Handbook ng Teknolohiya Matematika. Wolfram MathWorld.