MGA TRIANGLES: KASAYSAYAN, ELEMENTO, PAG-UURI, MGA KATANGIAN - SCIENCE - 2025

Ang mga tatsulok ay flat at sarado na mga geometric na numero, na binubuo ng tatlong panig. Ang isang tatsulok ay natutukoy sa pamamagitan ng tatlong linya na magkakaugnay ng dalawa, na bumubuo ng tatlong mga anggulo sa bawat isa. Ang tatsulok na hugis, puno ng simbolismo, ay naroroon sa hindi mabilang na mga bagay at bilang isang elemento ng konstruksiyon.

Ang pinagmulan ng tatsulok ay nawala sa kasaysayan. Mula sa katibayan ng arkeolohiko ay kilala na alam ng primitive na sangkatauhan ito, dahil ang mga arkeolohiko ay nananatiling nagpapatunay na ginamit ito sa mga tool at armas.

Larawan 1. Mga Triangles. Pinagmulan: Publicdomainpicture.

Maliwanag din na ang mga sinaunang taga-Egypt ay nagtataglay ng isang matatag na kaalaman sa geometry at partikular sa hugis ng tatsulok. Naipakita ang mga ito sa mga elemento ng arkitektura ng mga napakalaking gusali nito.

Sa Rhind papyrus ay makakahanap ka ng mga formula para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga tatsulok at trapezoid, pati na rin ang ilang mga volume at iba pang mga konsepto ng rudimentary trigonometry.

Para sa kanilang bahagi, kilala na ang mga taga-Babilonia ay nakalkula ang lugar ng tatsulok at iba pang mga geometric figure, na ginamit nila para sa mga praktikal na layunin, tulad ng mga dibisyon ng lupain. Marunong din silang malaman tungkol sa maraming mga katangian ng tatsulok.

Gayunpaman, ito ay ang mga sinaunang Griyego na naayos ang marami sa mga geometric na konsepto na laganap ngayon, kahit na ang karamihan sa kaalamang ito ay hindi eksklusibo, dahil tiyak na ibinahagi ito sa iba pang mga sinaunang sibilisasyon.

Mga elemento ng tatsulok

Ang mga elemento ng anumang tatsulok ay ipinahiwatig sa sumusunod na pigura. Mayroong tatlong: patayo, panig at anggulo.

Larawan 2. Ang notasyon ng mga tatsulok at ang kanilang mga elemento. Pinagmulan: Wikimedia Commons, binago ni F. Zapata

-Vertices : ay ang mga punto ng intersection ng mga linya na ang mga segment ay tumutukoy sa tatsulok. Sa figure sa itaas, halimbawa, ang linya L _AC na naglalaman ng segment na AC, ay pumapasok sa linya na L _AB na naglalaman ng segment na AB nang tumpak sa punto A.

- Mga Sides : sa pagitan ng bawat pares ng mga vertice isang linya ng linya ay iginuhit na bumubuo sa isang panig ng tatsulok. Ang segment na ito ay maaaring mailagak ng mga titik ng pagtatapos o sa pamamagitan ng paggamit ng isang tukoy na liham upang tawagan ito. Sa halimbawa ng figure 2, ang side AB ay tinatawag ding "c".

- Mga anggulo : Sa pagitan ng bawat panig na may isang karaniwang vertex isang anggulo ang nagmula, na ang vertex ay nagkakasabay sa na tatsulok. Karaniwan ang anggulo ay minarkahan ng isang liham na Greek, tulad ng nakasaad sa simula.

Upang makabuo ng isang partikular na tatsulok, na may isang naibigay na hugis at sukat, magkaroon lamang ng isa sa mga sumusunod na hanay ng data:

-Ang tatlong panig, medyo halata sa kaso ng isang tatsulok.

-Dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, at agad na natitira ang natitirang bahagi.

-Dalawang (panloob) mga anggulo at sa gilid sa pagitan nila. Sa pamamagitan ng pagpapalawak ng dalawang nawawalang panig ay iginuhit at handa ang tatsulok.

Notasyon

Karaniwan, sa tatsulok na notasyon ang mga sumusunod na kombensiyon ay ginagamit: ang mga vertice ay ipinapahiwatig ng mga malalaking titik ng Latin, mga gilid sa pamamagitan ng maliliit na titik ng Latin, at mga anggulo ng mga titik ng Greek (tingnan ang figure 2).

Sa ganitong paraan ang tatsulok ay pinangalanan ayon sa mga vertice nito. Halimbawa, ang tatsulok sa kaliwa sa figure 2 ay tatsulok na ABC, at ang isa sa kanan ay tatsulok na A'B'C '.

Posible ring gumamit ng iba pang mga notasyon; halimbawa, ang anggulo ng α sa Larawan 2 ay ipinapahiwatig bilang BAC. Tandaan na ang titik ng vertex ay pumupunta sa gitna at ang mga titik ay nakasulat sa isang anti-clockwise na direksyon.

Iba pang mga oras ang isang caret ay ginagamit upang magpahiwatig ng anggulo:

α = ∠A

Mga uri ng tatsulok

Mayroong ilang mga pamantayan para sa pag-uuri ng mga tatsulok. Ang pinaka-karaniwang bagay ay ang pag-uri-uriin sa kanila ayon sa sukat ng kanilang mga panig o ayon sa sukat ng kanilang mga anggulo. Depende sa sukat ng kanilang mga panig, ang mga tatsulok ay maaaring: scalenes, isosceles o equilateral:

-Scaleno : magkakaiba ang tatlong panig nito.

-Ako : ay may dalawang pantay na panig at isang magkakaibang panig.

-Equilátero : pantay-pantay ang magkabilang panig.

Larawan 3. Pag-uuri ng mga tatsulok sa kanilang panig. Pinagmulan: F. Zapata

Ayon sa sukat ng kanilang mga anggulo, ang mga tatsulok ay pinangalanan na tulad nito:

- Ang hadlang , kung ang isa sa mga panloob na anggulo ay mas malaki kaysa sa 90º.

- Talamak na anggulo , kapag ang tatlong panloob na anggulo ng tatsulok ay talamak, iyon ay, mas mababa sa 90º

- Rectangle , kung sakaling ang isa sa mga panloob na anggulo nito ay nagkakahalaga ng 90º. Ang mga panig na bumubuo ng 90º ay tinatawag na mga binti at ang gilid sa tapat ng tamang anggulo ay ang hypotenuse.

Larawan 4. Pag-uuri ng mga tatsulok sa pamamagitan ng kanilang mga panloob na anggulo. Pinagmulan: F. Zapata.

Pagbati ng mga tatsulok

Kapag ang dalawang tatsulok ay may parehong hugis at magkaparehong sukat, sinasabing batiin sila. Siyempre ang pagbabahagi ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay, kaya bakit sa geometry ay nagsasalita tayo ng "dalawang magkasamang mga tatsulok" sa halip na "dalawang pantay na tatsulok"?

Kaya, mas pinipiliang gamitin ang salitang "pagbati" upang manatili sa katotohanan, dahil ang dalawang tatsulok ay maaaring magkatulad na hugis at sukat, ngunit naiiba ang oriented sa eroplano (tingnan ang figure 3). Mula sa anggulo ng geometry, hindi na nila ito mahigpit na pareho.

Larawan 5. Binabati ang mga tatsulok, ngunit hindi kinakailangan pantay, dahil ang kanilang orientation sa eroplano ay naiiba. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga pamantayan sa pagbabahagi

Ang dalawang tatsulok ay nakakaalam kung anuman sa mga sumusunod ay nangyayari:

-Ang tatlong panig ay sinusukat ang pareho (muli ito ang pinaka halata).

-May dalawang magkaparehong panig at may parehong anggulo sa pagitan nila.

Ang Both ay may dalawang magkaparehong panloob na anggulo at sa gilid sa pagitan ng mga anggulo na ito ay sumusukat pareho.

Tulad ng nakikita, ito ay tungkol sa dalawang tatsulok na nakakatugon sa mga kinakailangang kondisyon upang kapag naitayo ang mga ito, ang kanilang hugis at sukat ay magkatulad.

Ang pamantayan ng congruence ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil sa pagsasanay, ang mga hindi mabilang na piraso at mekanikal na mga bahagi ay dapat na gawa sa serye, sa paraang ang kanilang mga sukat at hugis ay eksaktong pareho.

Pagkakapareho ng mga tatsulok

Ang isang tatsulok ay katulad sa isa pa kung magkapareho sila ng hugis, kahit na magkakaiba sila ng laki. Upang matiyak na ang hugis ay pareho, kinakailangan na ang mga panloob na anggulo ay may parehong halaga at na ang mga panig ay proporsyonal.

Larawan 6. Dalawang magkatulad na tatsulok: magkakaiba ang kanilang mga sukat ngunit pareho ang mga sukat nito. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang mga tatsulok sa figure 2 ay magkatulad din, tulad ng sa figure 6. Sa ganitong paraan:

Tulad ng para sa mga panig, humahawak ang mga sumusunod na pagkakatulad na ratios:

Ari-arian

Ang mga pangunahing katangian ng tatsulok ay ang mga sumusunod:

-Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180º.

-Para sa anumang tatsulok, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo nito ay katumbas ng 360 °.

- Ang isang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang mga anggulo sa loob na hindi katabi ng sinabi na anggulo.

Mga teoryang

Unang Teorem ng Thales

Ang mga ito ay maiugnay sa pilosopo ng Greek at matematika na si Thales ng Miletus, na bumuo ng maraming mga teoryang nauugnay sa geometry. Ang una sa kanila ay nagsasaad ng mga sumusunod:

Larawan 7. teorema ng Thales. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa ibang salita:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Ang unang teorema ni Thales ay naaangkop sa isang tatsulok, halimbawa mayroon kaming asul na tatsulok na ABC sa kaliwa, na pinutol ng pulang kahanay sa kanan:

Larawan 8. teorema ng Thales at magkatulad na tatsulok.

Ang violet tatsulok AB'C 'ay katulad sa asul na tatsulok na ABC, samakatuwid, ayon sa teorema ng Thales, ang mga sumusunod ay maaaring isulat:

AB' / AC´ = AB / AC

At naaayon sa kung ano ang ipinaliwanag dati sa segment ng pagkakapareho ng mga tatsulok. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga magkatulad na linya ay maaari ring maging vertical o kahanay sa hypotenuse at magkatulad na mga tatsulok ay nakuha sa parehong paraan.

Pangalawang teorema ni Thales

Ang teorem na ito ay tumutukoy din sa isang tatsulok at isang bilog na may gitnang O, tulad ng ipinakita sa ibaba. Sa figure na ito, ang AC ay isang diameter ng circumference at B ay isang punto dito, B naiiba sa A at B.

Ang ikalawang teorema ni Thales ay nagsasabi na:

Larawan 9. ikalawang teorema ng Thales. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Ang teyem ng Pythagorean

Ito ay isa sa mga pinakatanyag na theorems sa kasaysayan. Ito ay dahil sa Greek matematika Pythagoras ng Samos (569 - 475 BC) at naaangkop sa isang tamang tatsulok. Sabi nga:

Kung kukuha tayo bilang isang halimbawa ang asul na tatsulok sa figure 8, o ang lila na tatsulok, dahil pareho ang mga parihaba, kung gayon maaari itong ipahiwatig na:

AC ² = AB ² + BC ² (asul na tatsulok)

AC' ² = AB' ² + BC' ² (lila na tatsulok)

Ang lugar ng isang tatsulok

Ang lugar ng tatsulok ay ibinibigay ng produkto ng base nito at ang taas nito h, hinati ng 2. At sa pamamagitan ng trigonometrya, ang taas na ito ay maaaring isulat bilang h = b sinθ.

Larawan 10. Lugar ng tatsulok. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Mga halimbawa ng mga tatsulok

Halimbawa 1

Sinasabing sa pamamagitan ng kanyang unang teorema, pinamunuan ni Thales na sukatin ang taas ng Great Pyramid sa Egypt, isa sa 7 kababalaghan ng sinaunang mundo, sa pamamagitan ng pagsukat ng anino na ito ay inaasahan sa lupa at na inaasahang sa pamamagitan ng isang stake na hinimok sa lupa.

Ito ang balangkas ng pamamaraan na sinusundan ni Tales:

Larawan 11. Scheme upang masukat ang taas ng Great Pyramid sa pamamagitan ng pagkakapareho ng mga tatsulok. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Dake

Tama na ipinapalagay ni Thales na ang sunud-sunuran na sinag ng araw ay magkatulad. Sa isip nito, naisip niya ang malaking kanang tatsulok sa kanan.

Mayroong D ang taas ng pyramid at ang C ang distansya sa itaas ng lupa na sinusukat mula sa gitna hanggang sa anino na itinapon ng pyramid sa disyerto. Ang pagsukat C ay maaaring mahirap, ngunit ito ay tiyak na mas madali kaysa sa pagsukat ng taas ng pyramid.

Sa kaliwa ay ang maliit na tatsulok, na may mga binti A at B, kung saan ang A ay ang taas ng stake na itinulak nang patayo sa lupa at ang B ay ang anino na natatapon nito. Ang parehong haba ay sinusukat, tulad ng C (C ay katumbas ng haba ng anino + kalahati ng haba ng pyramid).

Kaya, sa pamamagitan ng pagkakapareho ng mga tatsulok:

A / B = D / C

At ang taas ng Great Pyramid ay naging: D = C. (A / B)

Halimbawa 2

Ang mga trusses sa konstruksyon sibil ay mga istruktura na gawa sa manipis na tuwid na mga bar ng kahoy o metal na crisscrossed, na ginagamit bilang suporta sa maraming mga gusali. Kilala rin sila bilang trusses, trusses, o trusses.

Sa kanila ang mga tatsulok ay palaging naroroon, dahil ang mga bar ay magkakaugnay sa mga puntong tinatawag na mga node, na maaaring maayos o articulated.

Larawan 12. Ang tatsulok ay naroroon sa frame ng tulay na ito. Pinagmulan: PxHere.

Halimbawa 3

Ang pamamaraan na kilala bilang tatsulok ay nagbibigay-daan sa pagkuha ng lokasyon ng mga hindi maa-access na mga puntos na alam ang iba pang mga distansya na mas madaling masukat, sa kondisyon na ang isang tatsulok ay nabuo na kasama ang nais na lokasyon sa pagitan ng mga vertice nito.

Halimbawa, sa sumusunod na figure na nais nating malaman kung saan ang barko ay nasa dagat, na tinaguriang bilang B.

Larawan 13. Triangulation scheme upang hanapin ang barko. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Colette

Una, ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa baybayin ay sinusukat, na sa figure ay A at C. Susunod, ang mga anggulo ng α at β ay dapat matukoy, gamit ang isang theodolite, isang aparato na ginamit upang masukat ang mga vertical at pahalang na anggulo.

Sa lahat ng impormasyong ito, isang tatsulok ay itinayo kung saan ang itaas na tuktok ay ang barko. Ito ay nananatiling kalkulahin ang anggulo γ, gamit ang mga katangian ng tatsulok at ang mga distansya ng AB at CB gamit ang trigonometrya, upang matukoy ang posisyon ng barko sa dagat.

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Sa figure na ipinakita, ang mga sinag ng araw ay kahanay. Sa ganitong paraan, ang 5 metro taas na puno ay naghahatid ng isang 6 metro na anino sa lupa. Sa parehong oras, ang anino ng gusali ay 40 metro. Kasunod ng Thor 'First Theorem, hanapin ang taas ng gusali.

Larawan 14. Scheme para sa nalutas na ehersisyo 1. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon

Ang pulang tatsulok ay may mga gilid ng 5 at 6 metro ayon sa pagkakabanggit, habang ang bughaw ay may taas H - ang taas ng gusali - at base 40 metro. Parehong tatsulok ay magkatulad, samakatuwid:

Mag-ehersisyo 2

Kailangan mong malaman ang pahalang na distansya sa pagitan ng dalawang puntos A at B, ngunit ang mga ito ay matatagpuan sa napaka hindi pantay na lupa.

Humigit-kumulang sa kalagitnaan ng gitnang (P _m ) ng nasabing lupain, isang katanyagan na may taas na 1.75 metro. Kung ang panukalang tape ay nagpapahiwatig ng 26 metro ng haba na sinusukat mula sa A hanggang sa katanyagan, at 27 metro mula sa B hanggang sa parehong punto, hanapin ang distansya AB.

Larawan 15. Scheme para sa nalutas na ehersisyo 2. Pinagmulan: Jiménez, R. Matematika II. Geometry at trigonometrya.

Solusyon

Ang Pythagorean teorem ay inilalapat sa isa sa dalawang kanang tatsulok sa figure. Magsisimula sa isa sa kaliwa:

Hypotenuse = c = 26 metro

Taas = a = 1.75 metro

AP _m = (26 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 25.94 m

Mag-apply ngayon ng Pythagoras sa tatsulok sa kanan, sa oras na ito c = 27 metro, isang = 1.75 metro. Sa mga halagang ito:

Ang BP _m = (27 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 26.94 m

Ang distansya ng AB ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga resulta na ito:

AB = 25.94 m + 26.94 m = 52.88 m.

Mga Sanggunian

1. Baldor, JA 1973. Plane at Space Geometry. Central American Cultural.
2. Barredo, D. Ang geometry ng tatsulok. Nabawi mula sa: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometry at trigonometrya. Ikalawang edisyon. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Nabawi mula sa: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangle. Nabawi mula sa: es. wikipedia.org.