DIREKTOR NG VECTOR: EQUATION NG LINYA, NALUTAS ANG PAGSASANAY - PISIKAL - 2025

Ang isang direktor na vector ay nauunawaan na isa na tumutukoy sa direksyon ng isang linya, maging sa eroplano o sa kalawakan. Samakatuwid, ang isang vector na kahanay sa linya ay maaaring isaalang-alang bilang isang pagdidirekta ng vector nito.

Posible ito salamat sa isang axiom ng Euclidean geometry na nagsasabing ang dalawang puntos ay tumutukoy sa isang linya. Pagkatapos ang oriented na segment na nabuo ng dalawang puntos na ito ay tumutukoy din sa isang director vector ng nasabing linya.

Larawan 1. Direktor vector ng isang linya. (Sariling pagsasaliksik)

Ibinigay ng isang punto P na kabilang sa linya (L) at binigyan ng direktor na vector u ng linya na iyon, ang linya ay ganap na tinutukoy.

Pagkapareho ng linya at direktor na vector

Larawan 2. Pagkapareho ng linya at direktor na vector. (Sariling pagsasaliksik)

Ibinigay ng isang punto P ng mga coordinate P: (Xo, I) at isang vector u director ng isang linya (L), bawat point Q ng mga coordinate Q: (X, Y) ay dapat masiyahan na ang vector PQ ay kahanay sa u. Ang huling kondisyon na ito ay ginagarantiyahan kung ang PQ ay proporsyonal sa u :

PQ = t⋅ u

sa expression sa itaas t ay isang parameter na kabilang sa mga tunay na numero.

Kung ang mga bahagi ng Cartesian ng PQ at u ay nakasulat, ang equation sa itaas ay nakasulat tulad ng sumusunod:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Kung ang mga sangkap ng pagkakapantay-pantay ng vector ay pinagsama, ang mga sumusunod na pares ng mga equation ay nakuha:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametric equation ng linya

Ang X at Y coordinates ng isang punto na kabilang sa linya (L) na dumadaan sa isang coordinate point (Xo, Yo) at kahanay sa direktor na vector u = (a, b) ay natutukoy sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga tunay na halaga sa variable na parameter t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Halimbawa 1

Upang mailarawan ang kahulugan ng equation ng parametric ng linya, isinasagawa namin bilang pagdidirekta ng vector

u = (a, b) = (2, -1)

at bilang isang kilalang punto ng linya ang punto

P = (Xo, I) = (1, 5).

Ang parametric equation ng linya ay:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Upang mailarawan ang kahulugan ng equation na ito, ipinapakita ang figure 3, kung saan binabago ng parameter t ang halaga nito at ang point Q ng mga coordinates (X, Y) ay tumatagal ng iba't ibang mga posisyon sa linya.

Larawan 3. PQ = t u. (Sariling pagsasaliksik)

Ang linya sa form ng vector

Ibinigay ang isang punto P sa linya at ang direktor na vector u, ang equation ng linya ay maaaring isulat sa form ng vector:

OQ = OP +. U

Sa equation sa itaas, ang Q ay anumang punto ngunit kabilang sa linya at λ ay isang tunay na numero.

Ang equation ng vector ng linya ay naaangkop sa anumang bilang ng mga sukat, kahit na ang isang hyper-line ay maaaring matukoy.

Sa tatlong-dimensional na kaso para sa isang direktor na vector u = (a, b, c) at isang point P = (Xo, Yo, Zo), ang mga coordinate ng isang pangkaraniwang point Q = (X, Y, Z) na kabilang sa linya ay :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Halimbawa 2

Isaalang-alang muli ang linya na mayroon bilang isang direktor na vector

u = (a, b) = (2, -1)

at bilang isang kilalang punto ng linya ang punto

P = (Xo, I) = (1, 5).

Ang vector equation ng nasabing linya ay:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Patuloy na anyo ng linya at ang direktor na vector

Simula mula sa form na parametric, pag-clear at equating ang parameter λ, mayroon kami:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Ito ang simetriko form ng equation ng linya. Tandaan na ang isang, b, at c ay ang mga sangkap ng direktor na vector.

Halimbawa 3

Isaalang-alang ang linya na mayroon bilang isang direktang vector

u = (a, b) = (2, -1)

at bilang isang kilalang punto ng linya ang punto

P = (Xo, I) = (1, 5). Hanapin ang hugis simetriko.

Ang simetriko o tuloy-tuloy na anyo ng linya ay:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Pangkalahatang anyo ng equation ng linya

Ang pangkalahatang anyo ng linya sa XY na eroplano ay kilala bilang equation na mayroong sumusunod na istraktura:

A⋅X + B⋅Y = C

Ang expression para sa simetriko form ay maaaring maisulat upang magkaroon ng pangkalahatang form:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

paghahambing sa pangkalahatang hugis ng linya na ito ay:

A = b, B = -a at C = b⋅Xo - a⋅Yo

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang anyo ng linya na ang direktor na vector ay u = (2, -1)

at dumaan sa puntong P = (1, 5).

Upang mahanap ang pangkalahatang form maaari naming gamitin ang ibinigay na mga formula, gayunpaman isang alternatibong landas ang pipiliin.

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng paghahanap ng dual vector w ng direktor vector u, tinukoy bilang vector na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalitan ng mga sangkap ng u at pagpaparami ng pangalawang sa pamamagitan ng -1:

w = (-1, -2)

ang dalwang vector w ay tumutugma sa isang 90 ° na sunud-sunod na pag-ikot ng direktor na vector v .

Scalarly kaming dumami w kasama (X, Y) at kasama (Xo, Yo) at nagtakda ng pantay-pantay:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

natitira sa wakas:

X + 2Y = 11

Pamantayang anyo ng equation ng linya

Kilala ito bilang pamantayang anyo ng linya sa XY eroplano, isa na mayroong sumusunod na istraktura:

Y = m⋅X + d

kung saan ang m ay kumakatawan sa slope at d ang makagambala sa Y axis.

Ibinigay ang direksyon vector u = (a, b), ang slope m ay b / a.

Ang Y d ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng X at Y para sa kilalang point Xo, Ako:

I = (b / a) Xo + d.

Sa madaling sabi, m = b / a at d = I - (b / a) Xo

Tandaan na ang slope m ay ang quotient sa pagitan ng y sangkap ng director vector at ang x sangkap nito.

Halimbawa 4

Hanapin ang karaniwang form ng linya na ang direktor vector ay u = (2, -1)

at dumaan sa puntong P = (1, 5).

m = -½ at d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Malutas na ehersisyo

-Ehersisyo 1

Maghanap ng isang director vector ng linya (L) na ang intersection ng eroplano (Π): X - Y + Z = 3 at ang eroplano (Ω): 2X + Y = 1.

Pagkatapos ay isulat ang patuloy na anyo ng equation ng linya (L).

Solusyon

Mula sa equation ng eroplano (Ω) clearance Y: Y = 1 -2X

Pagkatapos ay pumalit kami sa equation ng eroplano (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Pagkatapos ay namin parameterize X, pipiliin namin ang parameterization X = λ

Nangangahulugan ito na ang linya ay may isang equation ng vector na ibinigay ng:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

na maaaring isulat bilang:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

na kung saan malinaw na ang vector u = (1, -2, -3) ay isang direktang vector ng linya (L).

Ang patuloy na anyo ng linya (L) ay:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Exercise 2

Ibinigay ang eroplano 5X + isang Y + 4Z = 5

at ang linya na ang equation ay X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Alamin ang halaga ng isang tulad na ang eroplano at linya ay kahanay.

Solusyon 2

Ang vector n = (5, a, 4) ay isang vector na normal sa eroplano.

Ang vector u = (1, 3, -2) ay isang direktang vector ng linya.

Kung ang linya ay kahanay sa eroplano, pagkatapos n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Mga Sanggunian

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989) Matematika ng Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Linya algebra. Edukasyon sa Pearson.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Editoryal na Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Mga Vector. Nabawi mula sa: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Pag-precalculation. Edukasyon sa Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Pangunahing Konsepto ng Geometry. Rowman at Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Pag-precalculation. Edukasyon sa Pearson.