NORMAL VECTOR: PAGKALKULA AT HALIMBAWA - PISIKAL - 2025

Ang normal na vector ay isa na tumutukoy sa direksyon patayo sa ilang mga geometric entity na isinasaalang-alang, na maaaring sa pamamagitan ng isang curve, isang eroplano o isang ibabaw, halimbawa.

Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na konsepto sa pagpoposisyon ng isang gumagalaw na butil o ilang ibabaw sa kalawakan. Sa mga sumusunod na graph posible na makita kung ano ang normal na vector sa isang di-makatwirang curve C ay tulad ng:

Larawan 1. Isang curve C na may vector na normal sa curve sa point P. Source: Svjo

Isaalang-alang ang isang punto P sa curve C. Ang punto ay maaaring kumatawan ng isang gumagalaw na butil na gumagalaw sa isang landas na hugis C. Ang tangent line sa curve sa point P ay iguhit sa pula.

Tandaan na ang vector T ay tangent sa C sa bawat punto, habang ang vector N ay patayo sa T at tumuturo sa gitna ng isang haka-haka na bilog na ang arko ay isang segment ng C. Ang mga Vector ay ipinapahiwatig sa naka-bold na uri sa naka-print na teksto, para sa makilala ang mga ito sa iba pang mga di-vector na dami.

Ang vector T ay palaging nagpapahiwatig kung saan ang butil ay gumagalaw, samakatuwid ipinapahiwatig nito ang bilis ng maliit na butil. Sa kabilang banda, ang vector N ay laging tumuturo sa direksyon kung saan ang butil ay umiikot, sa ganitong paraan ipinapahiwatig nito ang pagkakaugnay ng curve C.

Paano makukuha ang normal na vector sa isang eroplano?

Ang normal na vector ay hindi kinakailangan isang yunit ng vector, iyon ay, isang vector na ang modulus ay 1, ngunit kung gayon, ito ay tinatawag na isang normal na vector ng yunit.

Larawan 2. Sa kaliwa ng isang eroplano P at ang dalawang vectors na normal sa sinabi na eroplano. Sa kanan ang mga unit ng vectors sa tatlong direksyon na tumutukoy sa puwang. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Tingnan ang pahina para sa may-akda

Sa maraming mga aplikasyon kinakailangan upang malaman ang vector na normal sa isang eroplano kaysa sa isang kurba. Ang vector na ito ay nagpapakita ng oryentasyon ng nasabing eroplano sa kalawakan. Halimbawa, isaalang-alang ang eroplano P (dilaw) ng pigura:

Mayroong dalawang normal na vectors sa eroplano na ito: n ₁ at n ₂ . Ang paggamit ng isa o iba pa ay depende sa konteksto kung saan natagpuan ang eroplano. Pagkuha ng normal na vector sa isang eroplano ay napaka-simple kung ang equation ng eroplano ay kilala:

Narito ang vector N ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga patayo na yunit ng vectors i , j at k , na nakadirekta kasama ang tatlong direksyon na matukoy ang xyz space, tingnan ang figure 2 na tama.

Ang normal na vector mula sa produkto ng vector

Ang isang napaka-simpleng pamamaraan upang mahanap ang normal na vector ay gumagamit ng mga katangian ng produkto ng vector sa pagitan ng dalawang vectors.

Tulad ng nalalaman, tatlong magkakaibang mga puntos, hindi collinear sa bawat isa, matukoy ang isang eroplano P. Ngayon, posible na makakuha ng dalawang vectors u at v na kabilang sa sinasabing eroplano na mayroong tatlong puntos.

Kapag nakuha ang mga vector, ang produkto ng vector u x v ay isang operasyon na ang resulta ay sa isang vector, na kung saan ay may ari-arian na maging patayo sa eroplano na tinukoy ng u at v .

Kilala ang vector na ito, ipinapahiwatig bilang N , at mula rito posible na matukoy ang equation ng eroplano salamat sa equation na ipinahiwatig sa naunang seksyon:

N = u x v

Ang sumusunod na figure ay naglalarawan ng pamamaraan na inilarawan:

Larawan 3. Sa dalawang vectors at kanilang vector product o cross, ang equation ng eroplano na naglalaman ng dalawang vectors ay natutukoy. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Walang ibinigay na may-akda na nababasa ng makina. Ipinagpalagay ni M.Romero Schmidtke (batay sa mga paghahabol sa copyright).

Halimbawa

Hanapin ang equation ng eroplano na tinutukoy ng mga puntos A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Solusyon

Ang ehersisyo na ito ay naglalarawan ng pamamaraan na inilarawan sa itaas. Sa pamamagitan ng pagkakaroon ng 3 puntos, ang isa sa kanila ay pinili bilang karaniwang pinagmulan ng dalawang mga vectors na kabilang sa eroplano na tinukoy ng mga puntong ito. Halimbawa, ang point A ay itinakda bilang ang pinagmulan at mga vector na AB at AC ay itinayo .

Ang Vector AB ay ang vector na ang pinagmulan ay point A at ang point of point ay B. Ang mga coordinate ng vector AB ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagkakasunod-sunod na pagbabawas sa mga coordinate ng B mula sa mga coordinate ng A:

Nagpapatuloy kami sa parehong paraan upang mahanap ang vector AC :

Pagkalkula ng produkto ng vector

Mayroong maraming mga pamamaraan upang mahanap ang produkto ng cross sa pagitan ng dalawang vectors. Ang halimbawang ito ay gumagamit ng isang mnemonic na pamamaraan na gumagamit ng sumusunod na figure upang mahanap ang mga produkto ng vector sa pagitan ng mga unit vectors i , j at k:

Larawan 4. Graph upang matukoy ang produkto ng vector sa pagitan ng mga vector ng yunit. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Upang magsimula, mabuti na tandaan na ang mga produkto ng vector sa pagitan ng mga magkakatulad na vector ay walang bisa, samakatuwid:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

At dahil ang produkto ng vector ay isa pang vector na patayo sa mga kalahok na vectors, na gumagalaw sa direksyon ng pulang arrow na mayroon kami:

Kung kailangan mong lumipat sa kabaligtaran ng direksyon sa arrow pagkatapos magdagdag ng isang senyas (-):

Sa kabuuan posible na gumawa ng 9 na mga produkto ng vector kasama ang mga unit vectors i , j at k , kung saan ang 3 ay walang bisa.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Katumbas ng eroplano

Ang vector N ay tinukoy ng produkto ng vector na nauna nang kinakalkula:

N = 2 i -8 j -2 k

Samakatuwid isang = 2, b = -8, c = -2, ang hiningi ng eroplano ay:

Ang halaga ng d ay mananatiling matukoy. Madali ito kung ang mga halaga ng anuman sa mga puntos A, B o C na magagamit ay nahalili sa equation ng eroplano. Ang pagpili ng C halimbawa:

x = 4; y = 2; z = 1

Labi:

Sa madaling sabi, ang mapa na hinahangad ay:

Ang nagtanong mambabasa ay maaaring magtaka kung ang parehong resulta ay nakuha kung sa halip na gawin ang AB x AC napili na gawin ang AC x AB. Ang sagot ay oo, ang eroplano na tinutukoy ng mga tatlong puntos na ito ay natatangi at may dalawang normal na vectors, tulad ng ipinapakita sa figure 2.

Kung tungkol sa puntong napili bilang pinagmulan ng mga vectors, walang problema sa pagpili ng alinman sa dalawa pa.

Mga Sanggunian

1. Figueroa, D. (2005). Serye: Physics para sa Science at Engineering. Dami 1. Kinematics. Na-edit ni Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. Ang paghahanap ng normal sa isang eroplano. Nabawi mula sa: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Calculus at Analytical Geometry. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Mga linya at eroplano sa R ​​3. Nabawi mula sa: matematika.harvard.edu.
5. Normal na vector. Nabawi mula sa mathworld.wolfram.com.