KASABAY NA MGA VECTORS: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang kasabay na mga vectors ay mga grupo ng vectors na ang mga axes ay nagkakasabay sa isang punto, na bumubuo sa pagitan ng bawat pares ng panloob at panlabas na ibang anggulo. Ang isang malinaw na halimbawa ay makikita sa figure sa ibaba, kung saan ang A, B at C ay mga vectors kasabay sa bawat isa.

D at E hindi katulad ng natitira. May mga anggulo na nabuo sa pagitan ng mga kasabay na vectors na AB, AC, at CB. Tinatawag silang mga anggulo ng relasyon sa pagitan ng mga vectors.

katangian

-Ang mga ito ay may isang punto sa karaniwan, na coincides sa kanilang pinagmulan: ang lahat ng mga magnitude ng magkakasabay na mga vectors ay nagsisimula mula sa isang karaniwang punto hanggang sa kani-kanilang mga dulo.

-Ang pinagmulan ay isinasaalang-alang bilang punto ng pagkilos ng vector: dapat na maitatag ang isang punto ng pagkilos na direktang maaapektuhan ng bawat isa sa mga magkakasabay na vector.

-Ako ang domain sa eroplano at puwang ay R ² at R ³ ayon sa pagkakabanggit: ang kasabay na mga vectors ay libre upang masakop ang buong puwang ng geometric.

-Binibigyan ang iba't ibang mga notasyon sa parehong pangkat ng mga vectors. Ayon sa mga sanga ng pag-aaral, ang iba't ibang mga notasyon ay naroroon sa mga operasyon kasama ang mga vectors.

Mga uri ng mga vectors

Ang sangay ng mga vectors ay may maraming mga subdivision, na ang ilan ay maaaring pinangalanan: kahanay, patayo, coplanar, katumbas, kabaligtaran at hindi magkakaisa. Ang mga kasabay na vectors ay nakalista dito, at tulad ng lahat ng mga pinangalanan sa itaas, marami silang mga application sa iba't ibang mga agham.

Karaniwan ang mga ito sa pag-aaral ng mga vectors, dahil kumakatawan sila sa isang kapaki-pakinabang na generalisasyon sa mga operasyon kasama nila. Parehong nasa eroplano at sa kalawakan, ang mga kasabay na mga vector ay karaniwang ginagamit upang kumatawan sa iba't ibang mga elemento at pag-aralan ang kanilang impluwensya sa isang partikular na sistema.

Ang notasyon ng Vector

Mayroong maraming mga paraan upang kumatawan ng elemento ng vector. Ang pangunahing at kilalang kilala ay:

Cartesian

Iminungkahi ng parehong diskarte sa matematika na ito, nangangahulugan ito ng mga vectors na may isang triple na naaayon sa mga magnitude ng bawat axis (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Space A: (1, 1) Plane

Polar

Nagsisilbi lamang sila upang magpahiwatig ng mga vectors sa eroplano, bagaman sa integral calculus ay itinalaga ang lalim na bahagi. Ito ay binubuo ng isang linear magnitude r at isang anggulo na may paggalang sa polar axis Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Plano A: (2, 45 ⁰ , 3) Space

Analytical

Tinukoy nila ang mga magnitude ng vector gamit ang mga dalubhasa. Ang mga dalubhasa (i + j + k) ay kumakatawan sa mga yunit ng vectors na naaayon sa mga axes X, Y at

A: 3i + 2j - 3k

Spherical

Ang mga ito ay katulad ng polar na notasyon, ngunit sa pagdaragdag ng isang pangalawang anggulo na nagwawalis sa xy eroplano na sinasagisag ng δ.

A: (4, 60 ^o , π / 4)

Kasabay na operasyon ng vector

Ang mga kasabay na vectors ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang mga operasyon sa pagitan ng mga vectors, sapagkat mas madaling ihambing ang mga elemento ng mga vectors kapag ipinakita ito nang sabay-sabay.

Kabuuan (A + B)

Ang kabuuan ng mga kasabay na vector ay naglalayong hanapin ang nagreresultang vector V _r . Alin, ayon sa sangay ng pag-aaral, tumutugma sa isang pangwakas na aksyon

Halimbawa: 3 mga string {A, B, C} ay nakatali sa isang kahon, ang bawat dulo ng string ay hawak ng isang paksa. Ang bawat isa sa 3 paksa ay dapat hilahin ang lubid sa ibang direksyon kaysa sa iba pang 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + ni + cy; az + bz + cz) = V _r

Ang kahon ay maaari lamang ilipat sa isang direksyon, samakatuwid V _r ay ipahiwatig ang direksyon at direksyon ng paggalaw ng kahon.

Pagkakaiba (A - B)

Maraming mga pamantayan tungkol sa pagkakaiba sa pagitan ng mga vectors, maraming mga may-akda ang pipili upang ibukod ito at ipinahayag na ang kabuuan lamang sa pagitan ng mga vectors ay itinakda, kung saan ang pagkakaiba ay tungkol sa kabuuan ng kabaligtaran ng vector. Ang katotohanan ay ang mga vectors ay maaaring ibawas algebraically.

A: (palakol, ay, az) B: (bx, ni, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Produkto ng Scalar (A. B)

Kilala rin bilang isang tuldok, bumubuo ito ng isang scalar na halaga na maaaring maiugnay sa iba't ibang mga magnitude depende sa sangay ng pag-aaral.

Para sa geometry, ipahiwatig ang lugar ng paralelogram na nabuo ng pares ng sabay-sabay na mga vector sa pamamagitan ng pamamaraang paralelogram. Para sa mekanikal na pisika tinukoy nito ang gawa na ginawa ng isang puwersa F kapag lumipat ng isang katawan ng isang distansya .

ѡ = F . .R

Tulad ng ipinahihiwatig ng pangalan nito, bumubuo ito ng isang halaga ng scalar at tinukoy bilang mga sumusunod:

Hayaan ang mga vectors A at B

A: (palakol, ay, az) B: (bx, ni, bz)

-Analytical form:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Kung saan θ ang panloob na anggulo sa pagitan ng parehong mga vectors

-Algebraic form:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Krus na produkto (A x B)

Ang vector produkto o tuldok produkto sa pagitan ng dalawang vectors, tumutukoy sa isang third vector C pagkakaroon ng kalidad ng pagiging patayo sa B at C . Sa pisika, ang metalikang vector τ ay ang pangunahing elemento ng dinamikong pag-ikot.

-Analytical form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraic form:

(A x B) = = (ax. Ni - ay. Bx) - (palakol. Bz - az. Bx) j + (ax. Ni - ay. Bx) k

-Relatibong kilusan: r _{A / B}

Ang batayan ng kapamanggitan ay kamag-anak na paggalaw at magkakasabay na mga vektor ay ang batayan ng kamag-anak na paggalaw. Ang mga kamag-anak na posisyon, bilis at pagbilis ay maaaring ibawas sa pamamagitan ng pag-apply ng sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga ideya.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Relatibong posisyon ng A na may paggalang sa B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Ang kamag-anak na tulin ng A tungkol sa B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Kakaugnay na pagbilis ng A na may kinalaman sa B

Mga halimbawa: nalutas ang pagsasanay

Ehersisyo 1

Hayaan ang A, B, at C na magkakasabay na mga vector.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Tukuyin ang nagresultang vector V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Tukuyin ang produkto ng tuldok (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Nakalkula ang anggulo sa pagitan ng A at C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Kung saan θ ang pinakamaikling anggulo sa pagitan ng mga vectors

θ = 88.63 ⁰

-Pagkaroon ng isang vector na patayo sa A at B

Para sa mga ito, kinakailangan upang tukuyin ang produkto ng vector sa pagitan ng (-1, 3, 5) at (3, 5, -2). Tulad ng ipinaliwanag dati, isang 3 x 3 matrix ang itinayo kung saan ang unang hilera ay binubuo ng mga triple unit vectors (i, j, k). Pagkatapos ang ika-2 at ika-3 na mga hilera ay binubuo ng mga vectors upang gumana, na iginagalang ang pagkakasunud-sunod ng pagpapatakbo.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Mag-ehersisyo 2

Hayaan ang V _a at V _b ang mga bilis ng vectors ng A at B ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang bilis ng B na nakita mula sa A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Sa kasong ito ang kamag-anak na bilis ng B na may paggalang sa A V _{B / A} ay hiniling

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ito ang velocity vector ng B na nakita mula sa A. Kung saan ang isang bagong vector ng bilis ng B ay inilarawan na kumukuha ng sanggunian mula sa isang tagamasid na nakaposisyon sa A at gumagalaw sa bilis ng A.

Ang mga iminungkahing ehersisyo

1-Gumawa ng 3 vectors A, B at C na magkakasabay at maiuugnay ang 3 operasyon sa pagitan nila sa pamamagitan ng isang praktikal na ehersisyo.

2-Hayaan ang mga vectors A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) at C: (-2, -1, 10). Maghanap ng mga vectors na patayo sa: A at B, C at B, Ang kabuuan A + B + C.

4-Alamin ang 3 vectors na patayo sa bawat isa, nang hindi isinasaalang-alang ang mga coordinate axes.

5-tukuyin ang gawaing ginawa ng isang puwersa na nagtaas ng isang bloke ng masa 5 kg, mula sa ilalim ng isang balon na 20m lalim.

6-Ipakita ang algebraically na ang pagbabawas ng mga vectors ay katumbas ng kabuuan ng kabaligtaran ng vector. Bigyang-katwiran ang iyong mga postulate.

7-Ituro ang isang vector sa lahat ng mga notasyon na binuo sa artikulong ito. (Cartesian, polar, analytic at spherical).

8-Ang mga magnetikong puwersa na isinagawa sa isang magnet na nakasalalay sa isang mesa, ay ibinibigay ng mga sumusunod na vectors; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Tukuyin kung aling direksyon ang lilipat kung ang lahat ng mga magnetic pwersa ay kumilos nang sabay.

Mga Sanggunian

1. Euclidean Geometry at Transformations. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, Enero 1 2004
2. Paano Malutas ang Naaangkop na Mga problemang Matematika L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, Abr 10 2013
3. Mga Pangunahing Konsepto ng Geometry. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, Oktubre 4. 2012
4. Mga Vector. Rocío Navarro Lacoba, Hunyo 7. 2014
5. Linya algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Edukasyon sa Pearson, 2006