- Mga halimbawa
- Ang bentahe ng mga logarithms
- Halimbawa
- Sagot
- Ehersisyo ng aplikasyon: ang Richter scale
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang pag- andar ng logarithmic ay isang relasyon sa matematika na iniuugnay ang bawat positibong tunay na bilang x kasama ang logarithm y sa isang base a. Ang kaugnay na ito ay nakakatugon sa mga kinakailangan upang maging isang function: ang bawat elemento x na kabilang sa domain ay may natatanging imahe.
Kaya:
Dahil ang logarithm batay sa isang numero x ay ang numero y kung saan ang batayang dapat na itaas upang makakuha ng x.
-Ang logarithm ng base ay palaging 1. Kaya, ang grap ng f (x) = mag-log ng isang x laging intersect ang x-axis sa puntong (1,0)
-Ang logarithmic function ay transendente at hindi maipapahayag bilang isang polynomial o bilang isang quotient ng mga ito. Bilang karagdagan sa logarithm, ang pangkat na ito ay nagsasama ng mga function ng trigonometriko at ang pagpapaunlad, bukod sa iba pa.
Mga halimbawa
Ang logarithmic function ay maaaring maitatag gamit ang iba't ibang mga base, ngunit ang pinaka ginagamit ay 10 at e, kung saan e ang Euler na numero na katumbas ng 2.71828….
Kapag ginamit ang base 10, ang logarithm ay tinatawag na isang perpektong logarithm, ordinaryong logarithm, Briggs 'o simpleng logarithm.
At kung ang bilang e ay ginagamit, kung gayon ito ay tinatawag na isang natural na logarithm, pagkatapos ni John Napier, ang matematiko na taga-Scotland na natuklasan ang mga logarithms.
Ang notasyong ginamit para sa bawat isa ay ang sumusunod:
-Decimal logarithm: log 10 x = log x
-Neperian logarithm: ln x
Kapag gagamitin ang isa pang batayan, kinakailangan na ipahiwatig ito bilang isang subskripsyon, dahil ang logarithm ng bawat numero ay naiiba depende sa base na gagamitin. Halimbawa, kung ito ay mga logarithms sa base 2, isulat:
y = mag-log 2 x
Tingnan natin ang logarithm ng numero 10 sa tatlong magkakaibang mga base, upang mailarawan ang puntong ito:
mag-log 10 = 1
ln 10 = 2.30259
mag-log 2 10 = 3.32193
Ang mga karaniwang calculator ay nagdudulot lamang ng perpektong logarithms (pag-andar ng log) at natural na logarithm (function ng ln). Sa Internet mayroong mga calculator na may iba pang mga base. Sa anumang kaso, maaaring mapatunayan ng mambabasa, sa tulong nito, na nasiyahan ang mga nakaraang halaga:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Ang mga maliit na pagkakaiba sa desimal ay dahil sa bilang ng mga lugar na desimal na kinuha sa pagkalkula ng logarithm.
Ang bentahe ng mga logarithms
Kabilang sa mga pakinabang ng paggamit ng mga logarithms ay ang kadalian na ibinibigay upang magtrabaho sa mga malalaking numero, gamit ang kanilang logarithm sa halip ng numero nang direkta.
Posible ito dahil ang pag-andar ng logarithm ay lumalaki nang mas mabagal habang ang mga numero ay nagiging mas malaki, tulad ng nakikita natin sa grap.
Kaya kahit na sa napakalaking bilang, ang kanilang mga logarithms ay mas maliit, at ang pagmamanipula ng maliliit na numero ay palaging mas madali.
Bilang karagdagan, ang mga logarithms ay may mga sumusunod na katangian:
- Produkto : log (ab) = mag-log ng isang + log b
- Quotient : log (a / b) = mag-log a - log b
- Kapangyarihan : mag-log ng b = b.log a
At sa ganitong paraan, ang mga produkto at quotients ay nagiging mga pagdaragdag at pagbabawas ng mas maliit na mga numero, habang ang pagbibigay ng kapangyarihan ay nagiging isang simpleng produkto kahit na ang kapangyarihan ay mataas.
Iyon ang dahilan kung bakit pinapayagan ka ng mga logarithms na ipahayag ang mga numero na nag-iiba sa napakalaking saklaw ng mga halaga, tulad ng intensity ng tunog, ang pH ng isang solusyon, ang ningning ng mga bituin, ang de-koryenteng pagtutol at ang intensity ng mga lindol sa scale ng Richter.
Larawan 2. Ang mga logarithms ay ginagamit sa Richter scale upang matukoy ang laki ng mga lindol. Ang imahe ay nagpapakita ng isang gumuhong gusali sa Concepción, Chile, sa panahon ng lindol ng 2010. Pinagmulan: Wikimedia Commons.
Tingnan natin ang isang halimbawa ng paghawak ng mga katangian ng mga logarithms:
Halimbawa
Hanapin ang halaga ng x sa sumusunod na expression:
Sagot
Narito kami ng isang logarithmic equation, dahil ang hindi alam ay nasa argumento ng logarithm. Malulutas ito sa pamamagitan ng pag-iwan ng isang solong logarithm sa bawat panig ng pagkakapantay-pantay.
Nagsisimula kami sa pamamagitan ng paglalagay ng lahat ng mga term na naglalaman ng "x" sa kaliwa ng pagkakapantay-pantay, at yaong naglalaman lamang ng mga numero sa kanan:
mag-log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Sa kaliwa mayroon kaming pagbabawas ng dalawang logarithms, na maaaring isulat bilang logarithm ng isang quotient:
log = 1
Gayunpaman, sa kanan ay ang numero 1, na maipahayag natin bilang log 10, tulad ng nakita natin kanina. Kaya:
log = log 10
Upang maging totoo ang pagkakapantay-pantay, ang mga argumento ng mga logarithms ay dapat na pantay-pantay:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Ehersisyo ng aplikasyon: ang Richter scale
Noong 1957 isang lindol ang naganap sa Mexico na ang lakas ay 7.7 sa scale Richter. Noong 1960, isa pang lindol na may higit na lakas na nangyari sa Chile, na 9.5.
Kalkulahin kung gaano karaming beses ang lindol sa Chile ay mas matindi kaysa sa isa sa Mexico, alam na ang magnitude M R sa Richter scale ay ibinigay ng pormula:
M R = log (10 4 I)
Solusyon
Ang laki sa Richter scale ng isang lindol ay isang logarithmic function. Kami ay kalkulahin ang intensity ng bawat lindol, dahil mayroon kaming mga magnitude na Richter. Gawin nating hakbang-hakbang:
- Mexico : 7.7 = log (10 4 I)
Dahil ang kabaligtaran ng pag-andar ng logarithm ay ang pagpapaunlad, inilalapat namin ito sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na may hangarin na lutasin ang I, na matatagpuan sa argumento ng logarithm.
Dahil ang mga perpektong logarithms, ang base ay 10. Pagkatapos:
10 7.7 = 10 4 I
Ang tindi ng lindol ng Mexico ay:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Chile : 9.5 = log (10 4 I)
Ang parehong pamamaraan ay humahantong sa amin sa tindi ng lindol ng Chilean I Ch :
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Ngayon ay maihahambing namin ang parehong intensities:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1. Ako M
Ang lindol sa Chile ay halos 63 beses na mas matindi kaysa sa isa sa Mexico. Dahil ang magnitude ay logarithmic, lumalaki ito nang mas mabagal kaysa sa tindi, kaya ang pagkakaiba ng 1 sa kalakhan, ay nangangahulugang isang 10 beses na mas malawak na alon ng seismic wave.
Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga magnitude ng parehong lindol ay 1.8, samakatuwid maaari naming asahan ang isang pagkakaiba sa mga intensities na mas malapit sa 100 kaysa sa 10, dahil ito ang nangyari.
Sa katunayan, kung ang pagkakaiba ay eksaktong 2, ang lindol sa Chile ay magiging 100 beses na mas matindi kaysa sa Mexico.
Mga Sanggunian
- Carena, M. 2019. Manwal ng Pre-University Matematika. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
- Figuera, J. 2000. Ika-1 Matematika. Diversified Year. Mga edisyon ng CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Pagkalkula ng isang variable. Ika-9. Edisyon. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika para sa Calculus. Ika-5. Edisyon. Pag-aaral ng Cengage.