TELESKOPIKONG PAGBUBUOD: KUNG PAANO ITO MALULUTAS AT MALULUTAS ANG MGA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang kabuuan ng teleskopiko ay isang serye ng numero ng pagpapatakbo ng sangay. Nakikipag-usap ito sa paglalagom ng mga elemento mula sa isang paunang halaga sa "n" ng mga pagpapahayag na ang argumento ay sumunod sa alinman sa mga sumusunod na pattern:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Tulad din ng:

Pinagmulan: Pixabay.com

Kinakatawan nila ang isang pagbubuod ng mga elemento na kapag binuo, ay sumailalim sa pagkansela ng mga kabaligtaran na termino. Ginagawang posible upang tukuyin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay para sa mga teleskopiko na pagbubuod:

Ang pangalan nito ay nagmula sa pakikipag-ugnayan sa hitsura ng isang klasikong teleskopyo, na maaaring makatiklop at magbuka, kapansin-pansin ang pagbabago ng sukat nito. Sa parehong paraan, ang mga teleskopikong pag-iinit, na walang hanggan sa kalikasan, ay maaaring maikli sa pinasimple na pagpapahayag:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstrasyon

Kapag nabuo ang pagbubuod ng mga termino, ang pag-aalis ng mga kadahilanan ay lubos na halata. Kung saan para sa bawat isa sa mga kaso, ang mga kabaligtaran na elemento ay lilitaw sa susunod na pag-ulit.

Ang unang kaso, (F _x - F _{x + 1} ), ay dadalhin bilang isang halimbawa , dahil ang proseso ay gumagana sa isang homologous na paraan para sa (F _{x + 1} –F _x ).

Ang pagbuo ng unang 3 mga halaga {1, 2, 3} ang kalakaran ng pagiging simple ay sinusunod

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Kung saan kapag ipinapahayag ang kabuuan ng mga elemento na inilarawan:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Napapansin na ang mga salitang F ₂ at F ₃ ay inilarawan kasama ang kanilang mga magkasalungat, na ginagawang hindi maiiwasan ang kanilang simple. Sa parehong paraan, napansin na ang mga termino F ₁ at F _{4 ay} nananatili.

Kung ang kabuuan ay ginawa mula sa x = 1 hanggang x = 3, nangangahulugan ito na ang elemento F _{4 ay} tumutugma sa pangkaraniwang term na F _{n + 1.}

Sa gayon nagpapakita ng pagkakapantay-pantay:

Paano ito nalutas?

Ang layunin ng teleskopiko na pagpupulong ay upang mapadali ang gawain, upang hindi kinakailangan na bumuo ng isang walang hanggan bilang ng mga termino, o upang gawing simple ang ilang kadena ng mga addend na masyadong mahaba.

Para sa paglutas nito kakailanganin lamang upang suriin ang mga termino F ₁ at F _{n + 1} . Ang mga simpleng paghalili na ito ang bumubuo ng pangwakas na resulta ng pagpapanaw.

Ang kabuuan ng mga termino ay hindi ipinahayag, nagiging kinakailangan lamang para sa pagpapakita ng resulta, ngunit hindi para sa normal na proseso ng pagkalkula.

Ang mahalagang bagay ay mapansin ang pag-uugnay ng serye ng numero. Minsan ang argumento ng pagsumite ay hindi ipinahayag sa teleskopopya. Sa mga kasong ito, ang pagpapatupad ng mga alternatibong pamamaraan ng factoring ay pangkaraniwan.

Ang katangian na pamamaraan ng factorization sa mga pagdaragdag ng teleskopiko ay sa mga simpleng fraction. Nangyayari ito kapag ang isang orihinal na bahagi ay nabulok sa isang kabuuan ng maraming mga praksyon, kung saan ang pattern ng teleskopiko (F _x - F _{x + 1} ) o (F _{x + 1} - F _x ) ay maaaring sundin .

Ang agnas sa mga simpleng fraction

Upang mapatunayan ang pag-uugnay ng serye ng numero, napaka-pangkaraniwan na ibahin ang anyo ng mga nakapangangatwiran na ekspresyon sa simpleng pamamaraan ng maliit na bahagi. Ang layunin ay upang mai-modelo ang isang lagay ng lupa sa hugis ng isang teleskopiko na pagpupulong.

Halimbawa, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay kumakatawan sa isang agnas sa simpleng mga praksyon:

Kapag nabuo ang serye ng numero at inilalapat ang mga kaukulang katangian, ang expression ay tumatagal ng sumusunod na form:

Kung saan ang hugis ng teleskopiko ay pinahahalagahan (F _x - F _{x + 1} ).

Ang pamamaraan ay medyo madaling maunawaan at binubuo ng paghahanap ng mga halaga ng numerator na, nang walang pagsira sa pagkakapantay-pantay, pinapayagan ang paghiwalayin ang mga produkto na nasa denominador. Ang mga equation na lumabas sa pagpapasiya ng mga halagang ito, ay itataas ayon sa paghahambing sa pagitan ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay.

Ang pamamaraang ito ay sinusunod nang hakbang sa pag-unlad ng ehersisyo 2.

Kasaysayan

Talagang hindi sigurado na tukuyin ang makasaysayang sandali kung saan ipinakita ang mga sumikat na teleskopiko. Gayunpaman, ang pagpapatupad nito ay nagsisimula na makikita sa ikalabing siyam na siglo, sa mga pag-aaral ng serye ng bilang na isinagawa nina Leibniz at Huygens.

Parehong mga matematiko, na ginalugad ang mga pagbubuod ng mga tatsulok na numero, nagsisimula na mapansin ang mga uso sa kombinasyon ng ilang mga serye ng sunud-sunod na mga elemento. Ngunit kahit na mas kawili-wili ay ang simula ng pagmomodelo ng mga ekspresyong ito, sa mga elemento na hindi kinakailangang sumunod sa isa't isa.

Sa katunayan, ang expression na ginamit dati upang sumangguni sa mga simpleng fraction:

Ito ay ipinakilala ni Huygens at agad na nakuha ang atensyon ni Leibniz. Sino sa paglipas ng panahon ay maaaring obserbahan ang tagpo sa halaga ng 2. Nang hindi alam ito, ipinatupad niya ang format ng teleskopiko.

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Tukuyin kung aling termino ang sumusunod na kabuuan ay nagkakabit:

Kapag mano-mano ang pagbuo ng kabuuan, ang sumusunod na pattern ay sinusunod:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Kung saan ang mga kadahilanan mula 2 ⁴ hanggang 2 ^{10 ay} nagpapakita ng positibo at negatibong mga bahagi, na nagpapakita ng kanilang pagkansela. Kung gayon ang tanging mga kadahilanan na hindi mapapagaan ay ang unang "2 ³ " at ang huling "2 ¹¹ ".

Sa ganitong paraan, kapag ipinatupad ang kriterya ng pagpapasikat ng teleskopiko, nakuha ang sumusunod:

Mag-ehersisyo 2

Ibahin ang anyo ng argumento sa isang teleskopiko na uri ng pagbubuod at tukuyin ang kombinasyon ng serye:

Tulad ng ipinahiwatig sa pahayag, ang unang bagay na dapat gawin ay ang mabulok sa mga simpleng fraction, upang maibalik ang argumento at ipahayag ito sa isang teleskopikong paraan.

Dapat kang makahanap ng 2 praksyon na ang mga denominator ay ayon sa pagkakabanggit ay "n" at "n + 1", kung saan ang pamamaraan na ginamit sa ibaba ay dapat makuha ang mga halaga ng numerator na nagbibigay kasiyahan sa pagkakapantay-pantay.

Nagpapatuloy kami upang tukuyin ang mga halaga ng A at B. Una, idagdag ang mga praksiyon.

Pagkatapos ay pinasimple ang mga denominador at itinatag ang isang linear equation.

Sa susunod na hakbang, ang expression sa kanan ay pinatatakbo, hanggang sa isang pattern na maihahambing sa "3" sa kaliwa.

Upang tukuyin ang mga equation na gagamitin, dapat na ihambing ang mga resulta ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Sa madaling salita, walang mga halaga ng variable n ay sinusunod sa kaliwang bahagi, sa ganitong paraan ang A + B ay kailangang maging pantay sa zero.

A + B = 0; A = -B

Sa kabilang banda, ang pare-pareho na halaga A ay dapat na maging pantay sa pare-pareho ang halaga 3.

A = 3

Sa gayon.

A = 3 at B = -3

Kapag natukoy na ang mga halaga ng numerator para sa mga simpleng fraction, ang pagpapanumbalik ay naibalik.

Kung saan nakamit ang pangkaraniwang form ng teleskopikong pagpapanaw. Ang teleskopikong serye ay binuo.

Kung saan kapag nahahati sa isang napakaraming bilang ang resulta ay lalapit at malapit sa zero, na obserbahan ang kombinasyon ng serye sa halaga 3.

Ang ganitong uri ng serye ay hindi malulutas sa anumang iba pang paraan, dahil sa walang hanggan bilang ng mga iterasyon na tumutukoy sa problema. Gayunpaman, ang pamamaraang ito, kasama ang marami pa, ay binubuo ang sangay ng pag-aaral ng serye ng numero, na ang layunin ay upang matukoy ang mga halaga ng tagpo o tukuyin ang pagkakaiba-iba ng nasabing serye.

Mga Sanggunian

1. Mga aralin sa calculator na walang hanggan. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Integral Calculus: Mga Sequences at Series ng Mga Pag-andar. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, Oktubre 21. 2014.
3. Isang Kurso sa Calculus at Real Analysis. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, Hunyo 5. 2006.
4. Walang hanggan serye. Tomlinson Fort. Ang Clarendon Press, 1930.
5. Mga Elemento ng Teorya ng Walang-hanggan na mga Proseso. Lloyd Leroy Ngumiti. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.