TEOREMA NG BOLZANO: PALIWANAG, APLIKASYON AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Sinabi ng teorema ng Bolzano na kung ang isang pag-andar ay patuloy sa bawat punto ng isang saradong agwat at nasiyahan na ang imahe ng "a" at "b" (sa ilalim ng pagpapaandar) ay may mga kabaligtaran na mga palatandaan, pagkatapos ay magkakaroon ng hindi bababa sa isang punto " c "sa bukas na agwat (a, b), sa isang paraan na ang pag-andar na nasuri sa" c "ay magiging katumbas sa 0.

Ang teorem na ito ay binigkas ng pilosopo, teologo at matematika na Bernard Bolzano noong 1850. Ang siyentipiko na ito, na ipinanganak sa Czech Republic ngayon, ay isa sa mga unang matematiko sa kasaysayan na gumawa ng isang pormal na patunay ng mga katangian ng patuloy na pag-andar.

Pagpapaliwanag

Ang teorema ng Bolzano ay kilala rin bilang ang mga intermediate na teorem ng halaga, na tumutulong sa pagtukoy ng mga tiyak na halaga, lalo na mga zero, ng ilang mga tunay na pag-andar ng isang tunay na variable.

Sa isang naibigay na function f (x) ay nagpapatuloy-ito ay, na f (a) at f (b) ay konektado sa isang curve-, kung saan ang f (a) ay nasa ilalim ng x-axis (ito ay negatibo), at f (b) sa pamamagitan ng sa itaas ng x axis (ito ay positibo), o kabaligtaran, sa graphically magkakaroon ng isang cut-off point sa x axis na kumakatawan sa isang intermediate na halaga «c», na magiging pagitan ng «a» at «b», at ang halaga ng f (c) ay magiging pantay sa 0.

Kapag ang pag-aaral ng graphical teorema ng Bolzano, makikita na para sa bawat tuluy-tuloy na pag-andar f na tinukoy sa isang agwat, kung saan ang f (a) _* f (b) ay mas mababa sa 0, magkakaroon ng hindi bababa sa isang ugat «c» ng pagpapaandar na iyon sa loob ng agwat (a, b).

Ang teorema na ito ay hindi itinatag ang bilang ng mga puntos sa bukas na agwat, sinabi lamang nito na mayroong isang punto.

Demonstrasyon

Upang mapatunayan ang teorema ng Bolzano, ipinapalagay na walang pagkawala ng pagiging pangkaraniwan na f (a) <0 at f (b)> 0; sa gayon, maaaring magkaroon ng maraming mga halaga sa pagitan ng "a" at "b" kung saan f (x) = 0, ngunit isa lamang ang kailangang ipakita.

Magsisimula kami sa pamamagitan ng pagsusuri sa f sa kalagitnaan ng (a + b) / 2. Kung f ((a + b) / 2) = 0 kung gayon ang patunay ay magtatapos dito; kung hindi man, pagkatapos ay f ((a + b) / 2) ay positibo o negatibo.

Ang isa sa mga halves ng agwat ay pinili, tulad na ang mga palatandaan ng pag-andar ay nasuri sa mga sukdulan. Ang bagong agwat na ito ay.

Ngayon, kung nasuri ang f sa kalagitnaan ng punto ay hindi zero, kung gayon ang parehong operasyon tulad ng dati ay ginanap; iyon ay, isang kalahati ng agwat na ito ay pinili na tumutupad sa kondisyon ng mga palatandaan. Hayaan itong maging bagong agwat.

Kung magpapatuloy ka sa prosesong ito, magkakaroon ka ng dalawang pagkakasunud-sunod {an} at {bn}, tulad nito:

tataas ang {an} at bumababa ang {bn}:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. .…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Kung kinakalkula mo ang haba ng bawat agwat, kailangan mong:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Samakatuwid, ang limitasyon bilang n papalapit sa kawalang-hanggan ng (bn-an) ay katumbas ng 0.

Ang paggamit ng isang iyon ay tumataas at nakatali at ang b) ay bumababa at nagtatali, mayroon kaming mayroong isang halaga «c» na:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ang limitasyon ng isang ay "c" at ang limitasyon ng {bn} ay "c" din. Samakatuwid, bibigyan ng anumang δ> 0, palaging mayroong isang "n" na ang agwat ay nakapaloob sa loob ng agwat (c-δ, c + δ).

Ngayon, dapat itong ipakita na f (c) = 0.

Kung f (c)> 0, pagkatapos ay patuloy na ang f, mayroong isang ε> 0 tulad na ang positibo sa f sa buong pagitan (c - ε, c + ε). Gayunpaman, tulad ng nakasaad sa itaas, mayroong isang halaga na "n" na nagbabago ang pag-sign in at, bukod dito, ay nakapaloob sa loob (c - ε, c + ε), na isang pagkakasalungatan.

Kung f (c) <0, pagkatapos ay dahil ang f ay patuloy, mayroong isang exists> 0 tulad na ang f ay negatibo sa buong agwat (c - ε, c + ε); ngunit may umiiral na isang halaga na "n" na nagbago ang pag-sign in. Ito ay lumiliko na ito ay nakapaloob sa loob (c - ε, c + ε), na kung saan ay isang salungat din.

Samakatuwid, f (c) = 0 at ito ang nais naming patunayan.

Para saan ito?

Mula sa pang-graphical na interpretasyon nito, ang teorema ng Bolzano ay ginagamit upang makahanap ng mga ugat o zero sa isang tuluy-tuloy na pag-andar, sa pamamagitan ng bisection (approximation), na kung saan ay isang paraan ng paghahanap ng palugit na palaging naghahati sa pagitan ng 2.

Pagkatapos ang isang agwat ay nakuha o kung saan nangyayari ang pagbabago ng pag-sign, at ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa ang pagitan ay mas maliit at mas maliit, upang ma-diskarte ang nais na halaga; iyon ay, sa halaga na ginagawang 0.

Sa kabuuan, upang ilapat ang teorema ng Bolzano at sa gayon ay makahanap ng mga ugat, limitahan ang mga zero ng isang function o magbigay ng solusyon sa isang equation, ang mga sumusunod na hakbang ay isinasagawa:

- Ito ay napatunayan kung ang f ay isang tuluy-tuloy na pagpapaandar sa agwat.

- Kung ang agwat ay hindi ibinigay, ang isa ay dapat matagpuan kung saan ang pagpapaandar ay tuluy-tuloy.

- Ito ay napatunayan kung ang mga sukdulan ng agwat ay nagbibigay ng kabaligtaran ng mga palatandaan kapag nasuri sa f.

- Kung ang mga kabaligtaran ng mga palatandaan ay hindi nakuha, ang agwat ay dapat nahahati sa dalawang subintervals gamit ang midpoint.

- Suriin ang pag-andar sa midpoint at patunayan na ang Bolzano hypothesis ay nasiyahan, kung saan f (a) _* f (b) <0.

- Depende sa palatandaan (positibo o negatibo) ng halaga na natagpuan, ang proseso ay paulit-ulit na may isang bagong subinterval hanggang sa natukoy ang nabanggit na hypothesis.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Alamin kung ang pagpapaandar f (x) = x ² - 2, ay may hindi bababa sa isang tunay na solusyon sa agwat.

Solusyon

Mayroon kaming pag-andar f (x) = x ² - 2. Dahil polynomial ito, nangangahulugan ito na ito ay patuloy sa anumang agwat.

Hiniling upang matukoy kung mayroon itong isang tunay na solusyon sa agwat, kaya ngayon kinakailangan lamang na kapalit ang mga dulo ng agwat sa pag-andar upang malaman ang tanda ng mga ito at malaman kung natutugunan nila ang kondisyon ng pagiging iba:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negatibo)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positibo)

Samakatuwid, pag-sign ng f (1) ≠ sign f (2).

Tinitiyak nito na mayroong isang puntong "c" na kabilang sa agwat, kung saan f (c) = 0.

Sa kasong ito, ang halaga ng "c" ay madaling kalkulahin tulad ng sumusunod:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Sa gayon, ang √2 ≈ 1,4 ay kabilang sa agwat at natutupad na f (√2) = 0.

Mag-ehersisyo 2

Ipakita na ang equation x ⁵ + x + 1 = 0 ay may hindi bababa sa isang tunay na solusyon.

Solusyon

Tandaan muna natin na ang f (x) = x ⁵ + x + 1 ay isang function na polynomial, na nangangahulugang ito ay patuloy sa lahat ng mga tunay na numero.

Sa kasong ito, walang agwat ang ibinigay, kaya ang mga halaga ay dapat mapili nang intuitively, mas mabuti na malapit sa 0, upang suriin ang pag-andar at hanapin ang mga pagbabago sa pag-sign:

Kung gagamitin mo ang agwat mayroon kang:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Dahil walang pagbabago sa pag-sign, ang proseso ay paulit-ulit sa isa pang agwat.

Kung gagamitin mo ang agwat mayroon kang:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Sa agwat na ito ay may pagbabago ng pag-sign: sign ng f (-1) ≠ sign ng f (0), na nangangahulugang ang pag-andar f (x) = x ⁵ + x + 1 ay may hindi bababa sa isang totoong ugat «c» sa agwat, tulad ng f (c) = 0. Sa madaling salita, totoo na ang x ⁵ + x + 1 = 0 ay may tunay na solusyon sa agwat.

Mga Sanggunian

1. Bronshtein I, SK (1988). Manwal ng Matematika para sa Mga Engineer at Estudyante. . Editoryal MIR.
2. George, A. (1994). Matematika at Isip. Oxford university press.
3. Ilín V, PE (1991). Pagsusuri sa matematika. Sa tatlong volume. .
4. Jesús Gómez, FG (2003). Mga Guro ng Edukasyong Sekondarya. Dami II. GALIT.
5. Mateos, ML (2013). Mga pangunahing katangian ng pagsusuri sa R. Mga editor, Dis. 20.
6. Piskunov, N. (1980). Pagkakaiba-iba at Integral Calculus. .
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matematika para sa Pagsusuri ng Ekonomiya. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Patuloy na Symmetry: Mula sa Euclid hanggang Klein. American Mathematical Soc.