PANGUNAHING TEOREMA NG ARITMETIKA: PATUNAY, APLIKASYON, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pangunahing teorema ng aritmetika ay nagsasabi na ang anumang likas na bilang na higit sa 1 ay maaaring mabulok bilang isang produkto ng mga pangunahing numero - ang ilan ay maaaring ulitin - at ang form na ito ay natatangi para sa bilang na iyon, kahit na ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay maaaring magkakaiba.

Alalahanin na ang isang pangunahing numero ng p ay isa na lamang ang umamin sa sarili at 1 bilang mga positibong divisors.Ang mga sumusunod na numero ay mga prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13 at iba pa, dahil may mga infinities. Ang numero 1 ay hindi itinuturing na isang kalakasan, dahil mayroon lamang itong isang dibahagi.

Larawan 1. Pinatunayan ni Euclid (kaliwa) ang pangunahing teorema ng aritmetika sa kanyang libro na Elemento (350 BC), at ang unang kumpletong patunay ay dahil kay Carl F. Gauss (1777-1855) (kanan). Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Para sa bahagi nito, ang mga numero na hindi sumunod sa mga nasa itaas ay tinatawag na mga composite number, tulad ng 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Alamin natin ang numero 10 halimbawa at agad na nakita natin na maaari itong mabulok bilang isang produkto ng 2 at 5:

10 = 2 × 5

Parehong 2 at 5 ay, epektibo, pangunahing numero. Ang teorem ay nagsasabi na posible ito para sa anumang bilang n:

Kung saan ang p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r ay mga pangunahing numero at k ₁ , k ₂ , k ₃ ,… k _r ay mga likas na numero. Kaya ang mga pangunahing numero ay kumikilos bilang mga bloke ng gusali kung saan, sa pamamagitan ng pagdami, ang mga likas na numero ay itinayo.

Patunay ng pangunahing teorema ng aritmetika

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagpapakita na ang bawat bilang ay maaaring mabulok sa pangunahing mga kadahilanan. Hayaan maging isang likas na numero n> 1, kalakasan o pinagsama.

Halimbawa kung n = 2, maaari itong ipahiwatig bilang: 2 = 1 × 2, na pangunahing. Sa parehong paraan, magpatuloy sa mga sumusunod na numero:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Patuloy kaming ganito, na nabubulok ang lahat ng mga likas na numero hanggang sa maabot namin ang numero n -1. Tingnan natin kung magagawa natin ito sa sumusunod na numero: n.

Kung n ang pangunahing, maaari nating mabulok ito bilang n = 1 × n, ngunit ipagpalagay na ang n ay composite at may isang divisor d, lohikal na mas mababa kaysa sa n:

1 <d <n.

Kung n / d = p ₁ , na may p ₁ isang pangunahing numero, pagkatapos n ay nakasulat bilang:

n = p ₁ .d

Kung d ang kalakasan ay wala nang dapat gawin, ngunit kung wala ito, mayroong isang numero n ₂ na isang divisor ng d at mas kaunti sa ito: n ₂ <d, kaya't maaaring isulat bilang produkto ng n ₂ ng isa pa pangunahing numero p ₂ :

d = p ₂ n ₂

Na kapag ang pagpapalit sa orihinal na numero n ay magbibigay:

n = p ₁ .p ₂ .n ₂

Ipagpalagay na ang n ₂ ay hindi isang punong numero din at isusulat namin ito bilang produkto ng isang pangunahing numero p ₃ , sa pamamagitan ng divisor n ₃ , tulad na n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

Inuulit namin ang pamamaraang ito ng isang tiyak na bilang ng mga beses hanggang makuha namin:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

Nangangahulugan ito na posible na mabulok ang lahat ng buong mga numero mula 2 hanggang sa bilang n, bilang isang produkto ng mga pangunahing numero.

Pagkakaiba-iba ng pangunahing kadahilanan

Ngayon ay patunayan natin na maliban sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan, kakaiba ang pagkabulok na ito. Ipagpalagay na n maaaring isulat sa dalawang paraan:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (na may r ≤ s)

Siyempre ang q ₁ , q ₂ , q ₃ … ay pangunahing mga numero din. Dahil ang mga div _{1 ay} naghahati (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ) kung gayon ang p ₁ ay katumbas ng isa sa mga "q", hindi mahalaga kung alin sa isa, kaya't masasabi natin na p ₁ = q ₁ . Hinahati namin ang n sa pamamagitan ng p ₁ at makuha:

p ₂ .p ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Inuulit namin ang pamamaraan hanggang sa hatiin namin ang lahat sa pamamagitan ng p _r , pagkatapos makuha namin:

1 = q _{r + 1} … q _s

Ngunit hindi posible na dumating sa q _{r + 1} … q _s = 1 kapag r <s, kung r = s lamang. Bagaman sa pamamagitan ng pag-amin na r = s, tinatanggap din na ang "p" at ang "q" ay pareho. Samakatuwid ang pagkabulok ay natatangi.

Aplikasyon

Tulad ng sinabi namin dati, ang mga pangunahing numero ay kumakatawan, kung gusto mo, ang mga atomo ng mga numero, ang kanilang mga pangunahing sangkap. Kaya ang pangunahing teorema ng aritmetika ay may maraming mga aplikasyon, ang pinaka-halata: maaari naming gumana sa malalaking mga numero nang mas madali kung ipahayag namin ang mga ito bilang produkto ng mas maliit na mga numero.

Sa parehong paraan, makakahanap tayo ng pinakadakilang karaniwang maramihang (LCM) at ang pinakadakilang pangkaraniwang tagabahagi (GCF), isang pamamaraan na makakatulong sa amin upang makagawa ng mga pagdaragdag ng mga praksiyon nang mas madali, makahanap ng mga ugat ng malalaking numero, o mapatakbo sa mga radikal, rationalize at malutas. mga problema sa aplikasyon ng isang napaka magkakaibang likas na katangian.

Bukod dito, ang mga pangunahing numero ay labis na nakakaaliw. Ang isang pattern ay hindi pa kinikilala sa kanila at hindi posible na malaman kung alin ang magiging susunod. Ang pinakamalaking sa ngayon ay natagpuan ng mga computer at may 24,862,048 na numero, bagaman ang mga bagong punong numero ay lilitaw na hindi gaanong madalas sa bawat oras.

Mga pangunahing numero sa kalikasan

Ang mga cicadas, cicádidos o cicadas na nakatira sa hilagang-silangan ng Estados Unidos ay lumitaw sa mga siklo ng 13 o 17 taon. Pareho silang mga pangunahing numero.

Sa ganitong paraan, ang mga cicadas ay umiiwas sa pagkakasabay sa mga mandaragit o mga kakumpitensya na may iba pang mga panahon ng kapanganakan, ni ang iba't ibang uri ng cicada ay nakikipagkumpitensya sa bawat isa, dahil hindi sila nag-tutugma sa parehong taon.

Larawan 2. Ang Magicicada cicada ng silangang Estados Unidos ay lumilitaw tuwing 13 hanggang 17 taon. Pinagmulan: Pxfuel.

Punong numero at online na pamimili

Ang mga punong numero ay ginagamit sa kriptograpiya upang mapanatiling sikreto ang mga detalye ng credit card kapag gumagawa ng mga pagbili sa Internet. Sa ganitong paraan, ang datos na nakukuha ng mamimili sa tindahan nang hindi nawawala o nahuhulog sa mga kamay ng mga taong walang prinsipyo.

Paano? Ang data sa mga kard ay naka-encode sa isang numero N na maaaring ipahiwatig bilang produkto ng mga pangunahing numero. Ang mga pangunahing numero ay ang susi na ipinahayag ng data, ngunit hindi alam ng publiko, maaari lamang silang mai-decode sa web kung saan sila ay nakadirekta.

Ang pagbagsak ng isang numero sa mga kadahilanan ay isang madaling gawain kung ang mga bilang ay maliit (tingnan ang mga nalulutas na pagsasanay), ngunit sa kasong ito ang mga pangunahing numero ng 100 na numero ay ginagamit bilang susi, na kapag pinarami ang mga ito ay nagbibigay ng mas malaking mga numero, na ang detalyadong pagkabulok ay nagsasangkot ng isang malaking gawain .

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Hatiin ang 1029 sa mga pangunahing salik.

Solusyon

Ang 1029 ay nahahati sa 3. Ito ay kilala dahil kapag nagdaragdag ng mga numero nito ang kabuuan ay isang maramihang 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Bilang ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi mababago ang produkto, maaari tayong magsimula roon:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Sa kabilang banda 343 = 7 ³ , kung gayon:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

At dahil ang parehong 3 at 7 ay pangunahing mga numero, ito ang agnas ng 1029.

- Ehersisyo 2

Factor ang trinomial x ² + 42x + 432.

Solusyon

Ang trinomial ay muling isinulat sa form (x + a). (x + b) at kailangan nating hanapin ang mga halaga ng a at b, tulad nito:

a + b = 42; ab = 432

Ang bilang na 432 ay nabulok sa mga pangunahing salik at mula doon ang naaangkop na kumbinasyon ay pinili ng pagsubok at error upang ang idinagdag na mga kadahilanan ay nagbibigay sa 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Mula dito mayroong maraming posibilidad na isulat ang 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

At ang lahat ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga produkto sa pagitan ng mga pangunahing kadahilanan, ngunit upang malutas ang ipinanukalang ehersisyo, ang tanging angkop na kumbinasyon ay: 432 = 24 × 18 mula noong 24 + 18 = 42, pagkatapos:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 1986. Teoretikal praktikal na aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Ang Nakatagong Code ng Kalikasan. Nabawi mula sa: bbc.com.
3. De Leon, Manuel. Punong mga numero: ang mga tagapag-alaga ng internet. Nabawi mula sa: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Teorya ng Bilang I: Pangunahing Teorya ng Arithmetic. Nabawi mula sa: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Ang pangunahing teorema ng aritmetika. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.