EKSISTENSYA AT NATATANGING TEOREMA: PATUNAY, HALIMBAWA AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pagkakaroon at natatanging teorema ay nagtatatag ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang equation na first-order na kaugalian, na may isang paunang kondisyon, upang magkaroon ng isang solusyon at para sa solusyon na ito lamang.

Gayunpaman, ang teorema ay hindi nagbibigay ng anumang pamamaraan o indikasyon kung paano makahanap ng naturang solusyon. Ang pagkakaroon at natatanging teorema ay pinalawak din sa mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga equation na may mga paunang kondisyon, na kung saan ay kilala bilang ang Cauchy problem.

Larawan 1. Ang isang equation na kaugalian na may paunang kondisyon at ang solusyon nito ay ipinapakita. Ang Eksistensya at Unibersidad ng Teorema ay ginagarantiyahan na ito ang tanging posibleng solusyon.

Ang pormal na pahayag ng pagkakaroon at natatanging teorema ay ang mga sumusunod:

"Para sa isang kaugalian na equation y '(x) = f (x, y) na may paunang kondisyon y (a) = b, mayroong isang solusyon sa isang hugis-parihaba na rehiyon ng eroplano XY na naglalaman ng punto (a, b), kung Ang f (x, y) ay patuloy sa rehiyon na iyon. At kung ang bahagyang derivative ng f na may paggalang sa y: g = ∂f / ∂y ay patuloy sa parehong parihabang rehiyon, kung gayon ang solusyon ay natatangi sa isang kapitbahayan ng puntong (a, b) na nakapaloob sa rehiyon ng pagpapatuloy ng fy g. "

Ang pagiging kapaki-pakinabang ng teorema na ito ay namamalagi muna sa pag-alam kung alin ang mga rehiyon ng XY na eroplano kung saan ang isang solusyon ay maaaring umiiral at din, alam kung ang solusyon ay natagpuan lamang ang isa o kung may iba pa.

Tandaan na kung sakaling hindi nasiyahan ang kundisyon ng kakaibang kalagayan, hindi mahuhulaan ng teorema kung gaano karaming mga solusyon sa kabuuan ng problemang Cauchy ay: marahil ito ay isa, dalawa, o higit pa.

Patunay ng pagkakaroon at natatanging teorema

Larawan 2. Si Charles Émile Picard (1856-1941) ay na-kredito sa isa sa mga unang patunay ng Existence and Uniqueness Theorem. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Para sa teorema na ito, ang dalawang posibleng katibayan ay kilala, ang isa sa mga ito ay ang patunay ni Charles Émile Picard (1856-1941) at ang iba pa ay dahil sa Giuseppe Peano (1858-1932) batay sa mga gawa ni Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Kapansin-pansin na ang pinaka-napakatalino na matematika na kaisipan ng ikalabinsiyam na siglo ay lumahok sa patunay ng teorema na ito, kaya maaari itong intuited na alinman sa kanila ay simple.

Upang pormal na patunayan ang teorema, kinakailangan munang magtatag ng isang serye ng mga mas advanced na konseptong matematiko, tulad ng mga function na uri ng Lipschitz, mga puwang ng Banach, teorem ng pagkakaroon ng Carathéodory at maraming iba pa, na lampas sa saklaw ng artikulo.

Ang isang malaking bahagi ng mga equation ng kaugalian na hawakan sa pisika ay humaharap sa patuloy na pag-andar sa mga rehiyon na interes, samakatuwid ay limitahan natin ang ating sarili sa pagpapakita kung paano inilalapat ang teorama sa mga simpleng equation.

Mga halimbawa

- Halimbawa 1

Isaalang-alang natin ang sumusunod na equation ng kaugalian sa isang paunang kondisyon:

y '(x) = - y; kasama ang y (1) = 3

Mayroon bang solusyon para sa problemang ito? Ito ba ang tanging posibleng solusyon?

Mga sagot

Sa una, ang pagkakaroon ng solusyon ng equation na kaugalian ay nasuri at natutupad din nito ang paunang kondisyon.

Sa halimbawang ito f (x, y) = - at ang kondisyon ng pagkakaroon ay nangangailangan ng pag-alam kung f (x, y) ay patuloy sa isang rehiyon ng XY na eroplano na naglalaman ng punto ng mga coordinate x = 1, y = 3.

Ngunit f (x, y) = - y ang pagpapaandar ng function, na kung saan ay patuloy sa domain ng mga tunay na numero at umiiral sa buong hanay ng mga tunay na numero.

Samakatuwid napagpasyahan na ang f (x, y) ay patuloy sa R ² , kaya ginagarantiyahan ng teorema ang pagkakaroon ng hindi bababa sa isang solusyon.

Alam ito, kinakailangan upang suriin kung ang solusyon ay natatangi o kung, sa kabaligtaran, mayroong higit sa isa. Para sa mga ito, kinakailangan upang makalkula ang bahagyang derivative ng f na may paggalang sa variable y:

Pagkatapos g (x, y) = -1 na kung saan ay isang palaging pag-andar, na kung saan ay tinukoy din para sa lahat ng R ² at patuloy din doon. Sinusunod nito na ang pagkakaroon at natatanging teorema ay ginagarantiyahan na ang problemang paunang halaga na ito ay mayroong isang natatanging solusyon, bagaman hindi ito sinasabi sa amin kung ano ito.

- Halimbawa 2

Isaalang-alang ang sumusunod na first-order ordinaryong equation na kaugalian na may paunang kondisyon:

y '(x) = 2√y; at (0) = 0.

Mayroon bang solusyon y (x) sa problemang ito? Kung gayon, alamin kung mayroong isa o higit pa sa isa.

Sagot

Isinasaalang-alang namin ang pag-andar f (x, y) = 2√y. Ang function na f ay tinukoy lamang para sa y≥0, dahil alam natin na ang isang negatibong numero ay kulang ng isang tunay na ugat. Bukod dito, ang f (x, y) ay tuluy-tuloy sa itaas na kalahating eroplano ng R ² kasama na ang X axis, kaya ang pagkakaroon at uniqueness theorem ay ginagarantiyahan ng hindi bababa sa isang solusyon sa nasabing rehiyon.

Ngayon ang paunang kondisyon x = 0, y = 0 ay nasa gilid ng rehiyon ng solusyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng bahagyang derivative ng f (x, y) na may paggalang sa y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Sa kasong ito ang pag-andar ay hindi tinukoy para sa y = 0, tiyak kung nasaan ang paunang kondisyon.

Ano ang sinasabi sa amin ng teorema? Sinasabi sa amin na kahit na alam namin na may isang hindi bababa sa isang solusyon sa itaas na kalahating eroplano ng X axis, kasama ang X axis, dahil ang kondisyon na natatangi ay hindi natutugunan, walang garantiya na magkakaroon ng isang natatanging solusyon.

Nangangahulugan ito na maaaring magkaroon ng isa o higit sa isang solusyon sa rehiyon ng pagpapatuloy ng f (x, y). At tulad ng dati, ang teorema ay hindi sinasabi sa amin kung ano ang maaari nilang maging.

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Malutas ang problema sa Cauchy sa Halimbawa 1:

y '(x) = - y; kasama ang y (1) = 3.

Hanapin ang function y (x) na nagbibigay kasiyahan sa pagkakaiba-iba ng equation at ang paunang kondisyon.

Solusyon

Sa Halimbawa 1 napagpasyahan na ang problemang ito ay may solusyon at natatangi din. Upang mahanap ang solusyon, ang unang bagay na dapat tandaan ay ito ay isang unang antas ng pagkakaiba-iba ng degree ng mga nahahati na variable, na nakasulat bilang mga sumusunod:

Paghahati sa pagitan ng at sa parehong mga miyembro upang paghiwalayin ang mga variable na mayroon kami:

Ang hindi tiyak na integral ay inilalapat sa parehong mga kasapi:

Ang paglutas ng mga hindi tiyak na integral na mayroon tayo:

kung saan ang C ay isang pare-pareho ng pagsasama na natutukoy ng paunang kondisyon:

Ang pagsusulat ng halaga ng C at muling pag-aayos nito ay nananatiling:

Paglalapat ng sumusunod na pag-aari ng mga logarithms:

Ang expression sa itaas ay maaaring maisulat muli tulad nito:

Ang pagpapaunlad na pagpapaandar na may base e sa parehong mga miyembro ay inilalapat upang makuha:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Alin ang katumbas ng:

y = 3e e ^-x

Ito ang natatanging solusyon ng equation y '= -y with y (1) = 3. Ang graph ng solusyon na ito ay ipinapakita sa Figure 1.

- Ehersisyo 2

Maghanap ng dalawang solusyon para sa problemang naiulat sa Halimbawa 2:

y '(x) = 2√ (y); at (0) = 0.

Solusyon

Ito rin ay isang equation ng mga hiwalay na variable, na, nakasulat sa form na kaugalian, ganito ang hitsura:

dy / √ (y) = 2 dx

Ang pagkuha ng hindi tiyak na integral sa parehong mga miyembro ay nananatili:

2 √ (y) = 2 x + C

Dahil alam namin na ang y≥0 sa rehiyon ng solusyon ay mayroon kami:

y = (x + C) ²

Ngunit dahil ang paunang kondisyon x = 0, y = 0 ay dapat na matupad, kung gayon ang pare-pareho ang C ay zero at ang sumusunod na solusyon ay nananatiling:

y (x) = x ² .

Ngunit ang solusyon na ito ay hindi natatangi, ang pag-andar y (x) = 0 ay isa ring solusyon sa problemang naiisyu. Ang pagkakaroon at natatanging teorema na inilalapat sa problemang ito sa Halimbawa 2 ay nahulaan na na maaaring mayroong higit sa isang solusyon.

Mga Sanggunian

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Teorya ng Ordinaryong Pagkakaiba-iba ng mga Equation, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedia ng Matematika. Cauchy-Lipschitz teorema. Nabawi mula sa: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successive aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Ang mga compte ay nagbibigay ng hebdomadaires des séances de l'Académie des science. Tomo 116, 1894, pp. 454–457. Nabawi mula sa: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Ang sunud-sunod na pamamaraan ng Picard. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema ng Picard-Lindelöf. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Mga Elemento na Pagkakaiba-iba ng Pagkakapareho sa Mga Aplikasyon. Prentice Hall.